Logaritmi reeglid

Arvu baaslogaritm b on eksponent , mida peame arvu saamiseks baasi tõstma .

Logaritmi määratlus

Kui b tõstetakse y astmeni, on võrdne x:

b y = x

Siis x-i baaslogaritm on võrdne y-ga:

logb(x) = y

Näiteks kui:

24 = 16

Siis

log2(16) = 4

Logaritm kui eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon

logaritmiline funktsioon,

y = logb(x)

on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon,

x = by

Nii et kui arvutame x (x>0) logaritmi eksponentsiaalfunktsiooni,

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Või kui arvutame x eksponentsiaalfunktsiooni logaritmi,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Naturaallogaritm (ln)

Naturaallogaritm on aluse e logaritm:

ln(x) = loge(x)

Kui e konstant on arv:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

või

e=\lim_{x\paremnool 0 }\vasak ( 1+ \parem x)^\frac{1}{x}

 

Vaata: Naturaallogaritm

Pöördlogaritmi arvutamine

Pöördlogaritm (või antilogaritm) arvutatakse aluse b tõstmisega logaritmile y:

x = log-1(y) = b y

Logaritmiline funktsioon

Logaritmilise funktsiooni põhivorm on järgmine:

f (x) = logb(x)

Logaritmireeglid

Reegli nimi Reegel
Logaritmi korrutisreegel
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmi jagatise reegel
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmi võimsusreegel
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmi baaslüliti reegel
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmi baasi muutmise reegel
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Logaritmi tuletis
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Logaritmi integraal
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Negatiivse arvu logaritm
 log b ( x ) on määratlemata, kui x ≤ 0
Logaritm 0
 log b (0) on määramata
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritm 1
 log b (1) = 0
Aluse logaritm
 log b ( b ) = 1
Lõpmatuse logaritm
 lim log b ( x ) = ∞, kui x →∞

Vaata: Logaritmireeglid

 

Logaritmi korrutisreegel

X ja y korrutamise logaritm on x ja y logaritmi summa.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Näiteks:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logaritmi jagatise reegel

X ja y jagamise logaritm on x ja y logaritmi erinevus.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Näiteks:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logaritmi võimsusreegel

y astmeni tõstetud x-i logaritm on y korda x-i logaritm.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Näiteks:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritmi baaslüliti reegel

C baaslogaritm on 1 jagatud b baaslogaritmiga c.

logb(c) = 1 / logc(b)

Näiteks:

log2(8) = 1 / log8(2)

Logaritmi baasi muutmise reegel

x baaslogaritm on x baaslogaritm jagatud b baaslogaritmiga c.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Näiteks logi 2 (8) arvutamiseks kalkulaatoris peame muutma baasi väärtuseks 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Vaata: logibaasi muutmise reegel

Negatiivse arvu logaritm

x-i baas b reaallogaritm, kui x<=0, on määratlemata, kui x on negatiivne või võrdne nulliga:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Vaata: negatiivse arvu logi

Logaritm 0

Nulli baaslogaritm on määratlemata:

logb(0) is undefined

X-i baaslogaritmi b piirväärtus, kui x läheneb nullile, on miinus lõpmatus:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Vaata: nulli logi

Logaritm 1

Ühe baaslogaritm on null:

logb(1) = 0

Näiteks ühe kahe põhilogaritm on null:

log2(1) = 0

Vaata: logi ühest

Lõpmatuse logaritm

X-i baaslogaritmi b piirang, kui x läheneb lõpmatusele, on võrdne lõpmatusega:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Vaata: lõpmatuse logi

Aluse logaritm

B baaslogaritm on üks:

logb(b) = 1

Näiteks kahe põhilogaritm kahest on üks:

log2(2) = 1

Logaritmi tuletis

Millal

f (x) = logb(x)

Siis f(x) tuletis:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Vaata: logtuletis

Logaritmi integraal

X-i logaritmi integraal:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Näiteks:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritmi lähendamine

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Kompleksne logaritm

Kompleksarvu z puhul:

z = reiθ = x + iy

Komplekslogaritm on (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritmi ülesanded ja vastused

Probleem nr 1

Otsi x jaoks

log2(x) + log2(x-3) = 2

Lahendus:

Tootereegli kasutamine:

log2(x∙(x-3)) = 2

Logaritmi vormi muutmine vastavalt logaritmi määratlusele:

x∙(x-3) = 22

Või

x2-3x-4 = 0

Ruutvõrrandi lahendamine:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Kuna negatiivsete arvude jaoks pole logaritmi määratletud, on vastus järgmine:

x = 4

Probleem nr 2

Otsi x jaoks

log3(x+2) - log3(x) = 2

Lahendus:

Jagatisreeglit kasutades:

log3((x+2) / x) = 2

Logaritmi vormi muutmine vastavalt logaritmi määratlusele:

(x+2)/x = 32

Või

x+2 = 9x

Või

8x = 2

Või

x = 0.25

Logi(x) graafik

log(x) ei ole defineeritud x tegelike mittepositiivsete väärtuste jaoks:

Logaritmide tabel

x logi 10 x logi 2 x logi e x
0 määratlemata määratlemata määratlemata
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0.1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2.197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1.301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4.906891 3,401197
40 1.602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6,129283 4,248495
80 1.903090 6,321928 4.382027
90 1,954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2.301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8,228819 5,703782
400 2.602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6.214608
600 2,778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2.903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10 000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritmikalkulaator ►

 

Vaata ka

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°