e konstantne

e konstant ehk Euleri arv on matemaatiline konstant. E konstant on reaal- ja irratsionaalne arv.

e = 2,718281828459...

Määratlus e
Omadused e
Alus ja logaritm
Eksponentfunktsioon
Euleri valem

Määratlus e

E konstant on määratletud kui piir:

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...$

Alternatiivsed määratlused

E konstant on määratletud kui piir:

$e=\lim_{x\paremnool 0 }\vasak ( 1+ \parem x)^\frac{1}{x}$

E konstant on määratletud kui lõpmatu jada:

$e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{ 2!}+\frac{1}{3!}+...$

Omadused e

Vastastikune e

e pöördväärtus on piir:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=\frac{1}{e}$

Tuletised e

Eksponentfunktsiooni tuletis on eksponentsiaalfunktsioon:

(e^x)' = e^x

Naturaallogaritmfunktsiooni tuletis on pöördfunktsioon:

(log_ex)' = (ln x)' = 1/x

Integraalid e

^{Eksponentfunktsiooni e x} määramatu integraal on eksponentsiaalfunktsioon e ^x .

∫ e^xdx = e^x+c

Naturaallogaritmi funktsiooni log _e x määramatu integraal on:

∫ log_ex dx = ∫ lnx dx = x ln x - x +c

Pöördfunktsiooni 1/x kindel integraal 1-st e on 1:

$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\: dx=1$

Alus ja logaritm

Arvu x naturaallogaritm on defineeritud kui x-i baaslogaritm e:

ln x = log_ex

Eksponentfunktsioon

Eksponentfunktsioon on määratletud järgmiselt:

f (x) = exp(x) = e^x

Euleri valem

Kompleksarvul e ^iθ on identsus:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

i on kujuteldav ühik (ruutjuur väärtusest -1).

θ on mis tahes reaalarv.