Naturaalne logaritm on logaritm arvu aluse e suhtes.
Millal
e y = x
Siis on x-i baas e logaritm
ln(x) = loge(x) = y
E - konstant ehk Euleri arv on:
e ≈ 2,71828183
Naturaallogaritmfunktsioon ln(x) on eksponentsiaalfunktsiooni e x pöördfunktsioon .
x>0 korral
f (f -1(x)) = eln(x) = x
Või
f -1(f (x)) = ln(ex) = x
Reegli nimi | Reegel | Näide |
---|---|---|
Toote reegel |
ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) |
ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7) |
Jagatisreegel |
ln(x / y) = ln(x) - ln(y) |
ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7) |
Võimsuse reegel |
ln(x y) = y ∙ ln(x) |
ln(28) = 8∙ ln(2) |
tuletis |
f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x | |
Integraalis |
∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C | |
Negatiivse arvuga |
ln( x ) on määratlemata, kui x ≤ 0 | |
ln nullist |
ln(0) on määramata | |
Ühest |
ln(1) = 0 | |
Lõpmatuses |
lim ln( x ) = ∞ , kui x →∞ | |
Euleri identiteet | ln(-1) = iπ |
X ja y korrutamise logaritm on x ja y logaritmi summa.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Näiteks:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
X ja y jagamise logaritm on x ja y logaritmi erinevus.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Näiteks:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
y astmeni tõstetud x-i logaritm on y korda x-i logaritm.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Näiteks:
log10(28) = 8∙ log10(2)
Naturaallogaritmfunktsiooni tuletis on pöördfunktsioon.
Millal
f (x) = ln(x)
F(x) tuletis on:
f ' (x) = 1 / x
Naturaallogaritmfunktsiooni integraal saadakse järgmiselt:
Millal
f (x) = ln(x)
F(x) integraal on:
∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C
Nulli naturaalne logaritm on määratlemata:
ln(0) is undefined
X naturaallogaritmi nullilähedane piir, kui x läheneb nullile, on miinus lõpmatus:
Ühe naturaallogaritm on null:
ln(1) = 0
Lõpmatuse loomuliku logaritmi piir, kui x läheneb lõpmatusele, on võrdne lõpmatusega:
lim ln(x) = ∞, when x→∞
Kompleksarvu z puhul:
z = reiθ = x + iy
Komplekslogaritm on (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
ln(x) ei ole defineeritud x tegelike mittepositiivsete väärtuste jaoks:
x | ln x |
---|---|
0 | määratlemata |
0 + | - ∞ |
0,0001 | -9.210340 |
0,001 | -6,907755 |
0,01 | -4,605170 |
0.1 | -2,302585 |
1 | 0 |
2 | 0,693147 |
e ≈ 2,7183 | 1 |
3 | 1,098612 |
4 | 1,386294 |
5 | 1,609438 |
6 | 1,791759 |
7 | 1,945910 |
8 | 2,079442 |
9 | 2.197225 |
10 | 2,302585 |
20 | 2,995732 |
30 | 3,401197 |
40 | 3,688879 |
50 | 3,912023 |
60 | 4,094345 |
70 | 4,248495 |
80 | 4.382027 |
90 | 4,499810 |
100 | 4,605170 |
200 | 5,298317 |
300 | 5,703782 |
400 | 5,991465 |
500 | 6.214608 |
600 | 6,396930 |
700 | 6,551080 |
800 | 6,684612 |
900 | 6,802395 |
1000 | 6,907755 |
10 000 | 9.210340 |
Advertising