Reglas de logaritmo

El logaritmo en base b de un número es el exponente que necesitamos elevar la base para obtener el número.

Definición de logaritmo
Reglas de logaritmo
Problemas de logaritmos
logaritmo complejo
Gráfica de log(x)
Tabla de logaritmos
Calculadora de logaritmos

Definición de logaritmo

Cuando b se eleva a la potencia de y es igual a x:

b^y = x

Entonces el logaritmo en base b de x es igual a y:

log_b(x) = y

Por ejemplo cuando:

2⁴ = 16

Después

log₂(16) = 4

Logaritmo como función inversa de función exponencial

La función logarítmica,

y = log_b(x)

es la función inversa de la función exponencial,

x = b^y

Entonces, si calculamos la función exponencial del logaritmo de x (x>0),

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

O si calculamos el logaritmo de la función exponencial de x,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

Logaritmo natural (ln)

El logaritmo natural es un logaritmo en base e:

ln(x) = log_e(x)

Cuando e constante es el número:

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...$

$e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}$

Ver: logaritmo natural

Cálculo del logaritmo inverso

El logaritmo inverso (o anti logaritmo) se calcula elevando la base b al logaritmo y:

x = log^-1(y) = b^y

función logarítmica

La función logarítmica tiene la forma básica de:

f (x) = log_b(x)

Reglas de logaritmo

Nombre de la regla	Regla
Regla del producto del logaritmo	logaritmo _segundo ( x ∙ y ) = logaritmo _segundo ( x ) + logaritmo _segundo ( y )
Regla del cociente del logaritmo	logaritmo _b ( x / y ) = logaritmo _b ( x ) - logaritmo _b ( y )
Regla de la potencia del logaritmo	logaritmo _segundo ( x ^y ) = y ∙ logaritmo _segundo ( x )
Regla de cambio de base de logaritmo	registro _b ( c ) = 1 / registro _c ( b )
Regla de cambio de base de logaritmo	log _b ( x ) = log _c ( x ) / log _c ( b )
Derivada del logaritmo	f ( x ) = log _segundo ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( segundo ) )
Integral de logaritmo	∫ iniciar sesión _segundo ( x ) dx = x ∙ ( iniciar sesión _segundo ( x ) - 1 / ln( segundo ) ) + C
Logaritmo de número negativo	log _b ( x ) no está definido cuando x ≤ 0
Logaritmo de 0	log _b (0) no está definido
Logaritmo de 0	$\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty$
Logaritmo de 1	registro _b (1) = 0
Logaritmo de la base	logaritmo _segundo ( segundo ) = 1
Logaritmo del infinito	lím log _b ( x ) = ∞, cuando x →∞

Ver: Reglas de logaritmos

Regla del producto del logaritmo

El logaritmo de la multiplicación de x e y es la suma del logaritmo de x y el logaritmo de y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Por ejemplo:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Regla del cociente del logaritmo

El logaritmo de la división de x e y es la diferencia del logaritmo de x y el logaritmo de y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Por ejemplo:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Regla de la potencia del logaritmo

El logaritmo de x elevado a la potencia de y es y por el logaritmo de x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Por ejemplo:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Regla de cambio de base de logaritmo

El logaritmo en base b de c es 1 dividido por el logaritmo en base c de b.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

Por ejemplo:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

Regla de cambio de base de logaritmo

El logaritmo en base b de x es el logaritmo en base c de x dividido por el logaritmo en base c de b.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Por ejemplo, para calcular log ₂ (8) en la calculadora, necesitamos cambiar la base a 10:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

Ver: regla de cambio de base de registro

Logaritmo de número negativo

El logaritmo real en base b de x cuando x<=0 no está definido cuando x es negativo o igual a cero:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

Ver: registro de número negativo

Logaritmo de 0

El logaritmo en base b de cero no está definido:

log_b(0) is undefined

El límite del logaritmo en base b de x, cuando x tiende a cero, es menos infinito:

$\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty$

Ver: registro de cero

Logaritmo de 1

El logaritmo en base b de uno es cero:

log_b(1) = 0

Por ejemplo, el logaritmo en base dos de uno es cero:

log₂(1) = 0

Ver: registro de uno

Logaritmo del infinito

El límite del logaritmo en base b de x, cuando x tiende a infinito, es igual a infinito:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

Ver: logaritmo del infinito

Logaritmo de la base

El logaritmo en base b de b es uno:

log_b(b) = 1

Por ejemplo, el logaritmo en base dos de dos es uno:

log₂(2) = 1

Derivada del logaritmo

Cuándo

f (x) = log_b(x)

Entonces la derivada de f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Ver: derivada logarítmica

Logaritmo integral

La integral del logaritmo de x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

Por ejemplo:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

Aproximación de logaritmos

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

logaritmo complejo

Para el número complejo z:

z = re^iθ = x + iy

El logaritmo complejo será (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Problemas de logaritmos y respuestas.

Problema #1

Encuentra x para

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

Solución:

Usando la regla del producto:

log₂(x∙(x-3)) = 2

Cambiando la forma del logaritmo de acuerdo con la definición del logaritmo:

x∙(x-3) = 2²

x²-3x-4 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Como el logaritmo no está definido para números negativos, la respuesta es:

x = 4

Problema #2

Encuentra x para

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

Solución:

Usando la regla del cociente:

log₃((x+2) / x) = 2

Cambiando la forma del logaritmo de acuerdo con la definición del logaritmo:

(x+2)/x = 3²

x+2 = 9x

8x = 2

x = 0.25

Gráfica de log(x)

log(x) no está definido para valores reales no positivos de x:

Tabla de logaritmos

X	registro 10x _{_}	registro _2x _	registro _e x
0	indefinido	indefinido	indefinido
0 ⁺	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

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Regla de cambio de base de logaritmo

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Logaritmo de número negativo

Logaritmo de 0

Logaritmo de 1

Logaritmo del infinito

Logaritmo de la base

Derivada del logaritmo

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Problema #1

Solución:

Problema #2

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Ver también

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