Κανόνες Λογαρίθμου

Ο λογάριθμος βάσης b ενός αριθμού είναι ο εκθέτης που πρέπει να αυξήσουμε τη βάση για να πάρουμε τον αριθμό.

• Ορισμός λογαρίθμου
• Κανόνες λογαρίθμου
• Προβλήματα λογαρίθμου
• Μιγαδικός λογάριθμος
• Γράφημα καταγραφής (x)
• Πίνακας λογαρίθμων
• Αριθμομηχανή λογαρίθμου

Ορισμός λογαρίθμου

Όταν το b αυξάνεται στη δύναμη του y είναι ίσο με το x:

b ^y = x

Τότε ο λογάριθμος βάσης b του x είναι ίσος με y:

log_b(x) = y

Για παράδειγμα όταν:

2⁴ = 16

Τότε

log₂(16) = 4

Ο λογάριθμος ως αντίστροφη συνάρτηση εκθετικής συνάρτησης

Η λογαριθμική συνάρτηση,

y = log_b(x)

είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης,

x = b^y

Αν λοιπόν υπολογίσουμε την εκθετική συνάρτηση του λογάριθμου του x (x>0),

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

Ή αν υπολογίσουμε τον λογάριθμο της εκθετικής συνάρτησης του x,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

Φυσικός λογάριθμος (ln)

Ο φυσικός λογάριθμος είναι ένας λογάριθμος στη βάση e:

ln(x) = log_e(x)

Όταν e σταθερά είναι ο αριθμός:

ή

 

Δείτε: Φυσικός λογάριθμος

Υπολογισμός αντίστροφου λογαρίθμου

Ο αντίστροφος λογάριθμος (ή αντιλογάριθμος) υπολογίζεται ανυψώνοντας τη βάση b στον λογάριθμο y:

x = log^-1(y) = b ^y

Λογαριθμική συνάρτηση

Η λογαριθμική συνάρτηση έχει τη βασική μορφή:

f (x) = log_b(x)

Κανόνες λογαρίθμου

Όνομα κανόνα	Κανόνας
Κανόνας λογαριθμικού προϊόντος	log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Κανόνας λογαριθμικού πηλίκου	log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Κανόνας ισχύος λογάριθμου	log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Κανόνας διακόπτη βάσης λογάριθμου	log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Κανόνας αλλαγής βάσης λογαρίθμου	log b ( x ) = log c ( x ) / ημερολόγιο c ( b )
Παράγωγο λογάριθμου	f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Ολοκλήρωμα λογάριθμου	∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Λογάριθμος αρνητικού αριθμού	log b ( x ) είναι απροσδιόριστο όταν x ≤ 0
Λογάριθμος 0	Το αρχείο καταγραφής b (0) δεν έχει οριστεί
Λογάριθμος του 1	log b (1) = 0
Λογάριθμος της βάσης	log b ( b ) = 1
Λογάριθμος του απείρου	lim log b ( x ) = ∞, όταν x →∞

Δείτε: Κανόνες λογαρίθμου

 

Κανόνας λογαριθμικού προϊόντος

Ο λογάριθμος του πολλαπλασιασμού των x και y είναι το άθροισμα του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Για παράδειγμα:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Κανόνας λογαριθμικού πηλίκου

Ο λογάριθμος της διαίρεσης του x και του y είναι η διαφορά του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Για παράδειγμα:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Κανόνας ισχύος λογάριθμου

Ο λογάριθμος του x ανυψώνεται στη δύναμη του y είναι y επί του λογάριθμου του x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Για παράδειγμα:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Κανόνας διακόπτη βάσης λογάριθμου

Ο λογάριθμος βάσης b του c διαιρείται με το λογάριθμο c βάσης του b.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

Για παράδειγμα:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

Κανόνας αλλαγής βάσης λογαρίθμου

Ο λογάριθμος βάσης b του x είναι ο λογάριθμος βάσης c του x διαιρεμένος με τον λογάριθμο βάσης c του b.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε το αρχείο καταγραφής ₂ (8) στην αριθμομηχανή, πρέπει να αλλάξουμε τη βάση σε 10:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

Δείτε: κανόνας αλλαγής βάσης καταγραφής

Λογάριθμος αρνητικού αριθμού

Ο βασικός b πραγματικός λογάριθμος του x όταν x<=0 είναι απροσδιόριστος όταν το x είναι αρνητικό ή ίσο με μηδέν:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

Δείτε: αρχείο καταγραφής αρνητικού αριθμού

Λογάριθμος 0

Ο βασικός b λογάριθμος του μηδενός είναι απροσδιόριστος:

log_b(0) is undefined

Το όριο του βασικού b λογάριθμου του x, όταν το x πλησιάζει το μηδέν, είναι μείον το άπειρο:

Δείτε: αρχείο καταγραφής μηδέν

Λογάριθμος του 1

Ο βασικός b λογάριθμος του ένα είναι μηδέν:

log_b(1) = 0

Για παράδειγμα, ο λογάριθμος δύο βάσης του ενός είναι μηδέν:

log₂(1) = 0

Δείτε: ημερολόγιο ενός

Λογάριθμος του απείρου

Το όριο του λογάριθμου βάσης b του x, όταν το x πλησιάζει το άπειρο, είναι ίσο με το άπειρο:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

Δείτε: ημερολόγιο του άπειρου

Λογάριθμος της βάσης

Ο βασικός b λογάριθμος του b είναι ένας:

log_b(b) = 1

Για παράδειγμα, ο λογάριθμος βάσης δύο του δύο είναι ένας:

log₂(2) = 1

Παράγωγος λογαρίθμου

Οταν

f (x) = log_b(x)

Τότε η παράγωγος της f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Βλέπε: log παράγωγο

Ολοκληρωμένο λογάριθμο

Το ολοκλήρωμα του λογάριθμου του x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

Για παράδειγμα:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

Προσέγγιση λογαρίθμου

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

Μιγαδικός λογάριθμος

Για τον μιγαδικό αριθμό z:

z = re^iθ = x + iy

Ο μιγαδικός λογάριθμος θα είναι (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Προβλήματα λογαρίθμων και απαντήσεις

Πρόβλημα #1

Βρείτε το x για

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

Λύση:

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του προϊόντος:

log₂(x∙(x-3)) = 2

Αλλαγή της μορφής λογάριθμου σύμφωνα με τον ορισμό του λογάριθμου:

x∙(x-3) = 2²

Ή

x²-3x-4 = 0

Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Δεδομένου ότι ο λογάριθμος δεν ορίζεται για αρνητικούς αριθμούς, η απάντηση είναι:

x = 4

Πρόβλημα #2

Βρείτε το x για

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

Λύση:

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πηλίκου:

log₃((x+2) / x) = 2

Αλλαγή της μορφής λογάριθμου σύμφωνα με τον ορισμό του λογάριθμου:

(x+2)/x = 3²

Ή

x+2 = 9x

Ή

8x = 2

Ή

x = 0.25

Γράφημα καταγραφής (x)

Το log(x) δεν ορίζεται για πραγματικές μη θετικές τιμές του x:

Πίνακας λογαρίθμων

Χ	ημερολόγιο 10 x	ημερολόγιο 2 x	log e x
0	απροσδιόριστος	απροσδιόριστος	απροσδιόριστος
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0,0001	-4	-13,287712	-9,210340
0,001	-3	-9,965784	-6,907755
0,01	-2	-6,643856	-4,605170
0.1	-1	-3,321928	-2,302585
1	0	0	0
2	0,301030	1	0,693147
3	0,477121	1,584963	1,098612
4	0,602060	2	1,386294
5	0,698970	2,321928	1,609438
6	0,778151	2,584963	1,791759
7	0,845098	2,807355	1,945910
8	0,903090	3	2,079442
9	0,954243	3,169925	2,197225
10	1	3,321928	2,302585
20	1,301030	4,321928	2,995732
30	1,477121	4,906891	3,401197
40	1,602060	5,321928	3,688879
50	1,698970	5,643856	3,912023
60	1,778151	5,906991	4,094345
70	1,845098	6,129283	4,248495
80	1,903090	6,321928	4,382027
90	1,954243	6,491853	4,499810
100	2	6,643856	4,605170
200	2,301030	7,643856	5,298317
300	2,477121	8,228819	5,703782
400	2,602060	8,643856	5,991465
500	2,698970	8,965784	6,214608
600	2,778151	9,228819	6,396930
700	2,845098	9,451211	6,551080
800	2,903090	9,643856	6,684612
900	2,954243	9,813781	6,802395
1000	3	9,965784	6,907755
10000	4	13.287712	9,210340

 

Αριθμομηχανή λογαρίθμου ►

 

---

Δείτε επίσης

• Κανόνες λογαρίθμου
• Αλλαγή λογαρίθμου βάσης
• Λογάριθμος του μηδενός
• Λογάριθμος του ενός
• Λογάριθμος του απείρου
• Λογάριθμος αρνητικού αριθμού
• Αριθμομηχανή λογαρίθμου
• Γράφημα λογάριθμου
• Πίνακας λογαρίθμων
• Αριθμομηχανή φυσικού λογάριθμου
• Φυσικός λογάριθμος - ln x
• ε σταθερά
• Decibel (dB)