Φυσικός λογάριθμος - ln(x)

Φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος στη βάση e ενός αριθμού.

• Ορισμός φυσικού λογάριθμου (ln).
• Κανόνες & ιδιότητες φυσικού λογάριθμου (ln).
  • Παράγωγο φυσικού λογάριθμου (ln)
  • Ολοκλήρωμα φυσικού λογάριθμου (ln)
• Μιγαδικός λογάριθμος
• Γράφημα ln(x)
• Πίνακας φυσικών λογαρίθμων (ln).
• Αριθμομηχανή φυσικού λογάριθμου

Ορισμός φυσικού λογάριθμου

Οταν

e ^y = x

Τότε ο λογάριθμος βάσης e του x είναι

ln(x) = log_e(x) = y

 

Η σταθερά e ή ο αριθμός του Euler είναι:

e ≈ 2,71828183

Το Ln ως αντίστροφη συνάρτηση εκθετικής συνάρτησης

Η φυσική λογαριθμική συνάρτηση ln(x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης e ^x .

Για x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Ή

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Κανόνες και ιδιότητες φυσικού λογάριθμου

Όνομα κανόνα	Κανόνας	Παράδειγμα
Κανόνας προϊόντος	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Κανόνας πηλίκου	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Κανόνας εξουσίας	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
Σε παράγωγο	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Σε αναπόσπαστο	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln αρνητικού αριθμού	Το ln( x ) είναι απροσδιόριστο όταν x ≤ 0
Στο μηδέν	Το ln(0) είναι απροσδιόριστο
Σε ένα	ln(1) = 0
Στο άπειρο	lim ln( x ) = ∞ , όταν x →∞
Η ταυτότητα του Euler	ln(-1) = iπ

 

Κανόνας λογαρίθμου προϊόντος

Ο λογάριθμος του πολλαπλασιασμού των x και y είναι το άθροισμα του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Για παράδειγμα:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Κανόνας λογαριθμικού πηλίκου

Ο λογάριθμος της διαίρεσης του x και του y είναι η διαφορά του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Για παράδειγμα:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Κανόνας ισχύος λογάριθμου

Ο λογάριθμος του x ανυψώνεται στη δύναμη του y είναι y επί του λογάριθμου του x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Για παράδειγμα:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Παράγωγο φυσικού λογάριθμου

Η παράγωγος της συνάρτησης φυσικού λογάριθμου είναι η αντίστροφη συνάρτηση.

Οταν

f (x) = ln(x)

Η παράγωγος της f(x) είναι:

f ' (x) = 1 / x

Ολοκλήρωμα φυσικού λογάριθμου

Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης φυσικού λογάριθμου δίνεται από:

Οταν

f (x) = ln(x)

Το ολοκλήρωμα της f(x) είναι:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln από 0

Ο φυσικός λογάριθμος του μηδενός είναι απροσδιόριστος:

ln(0) is undefined

Το όριο κοντά στο 0 του φυσικού λογάριθμου του x, όταν το x πλησιάζει το μηδέν, είναι μείον το άπειρο:

Ln από 1

Ο φυσικός λογάριθμος του ενός είναι μηδέν:

ln(1) = 0

Ln του απείρου

Το όριο του φυσικού λογάριθμου του άπειρου, όταν το x πλησιάζει το άπειρο είναι ίσο με το άπειρο:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Μιγαδικός λογάριθμος

Για τον μιγαδικό αριθμό z:

z = re^iθ = x + iy

Ο μιγαδικός λογάριθμος θα είναι (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Γράφημα ln(x)

Το ln(x) δεν ορίζεται για πραγματικές μη θετικές τιμές του x:

Πίνακας φυσικών λογαρίθμων

Χ	Στο x
0	απροσδιόριστος
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0.1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10000	9,210340

 

Κανόνες λογάριθμου ►

 

---

Δείτε επίσης

• Λογάριθμος (ημερολόγιο)
• Αριθμομηχανή φυσικού λογάριθμου
• Φυσικός λογάριθμος του μηδενός
• Φυσικός λογάριθμος του ενός
• Φυσικός λογάριθμος του e
• Φυσικός λογάριθμος του απείρου
• Φυσικός λογάριθμος αρνητικού αριθμού
• Ln αντίστροφη συνάρτηση
• Γράφημα ln(x).
• Πίνακας φυσικού λογάριθμου
• Αριθμομηχανή λογαρίθμου
• ε σταθερά