ε σταθερά

Η σταθερά e ή ο αριθμός του Euler είναι μια μαθηματική σταθερά. Η σταθερά e είναι πραγματικός και παράλογος αριθμός.

e = 2,718281828459...

Ορισμός του ε
Ιδιότητες του ε
Βάση και λογάριθμος
Εκθετικη συναρτηση
Ο τύπος του Euler

Ορισμός του ε

Η σταθερά e ορίζεται ως το όριο:

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...$

Εναλλακτικοί ορισμοί

Η σταθερά e ορίζεται ως το όριο:

$e=\lim_{x\δεξιό βέλος 0 }\αριστερά ( 1+ \δεξιά x)^\frac{1}{x}$

Η σταθερά e ορίζεται ως η άπειρη σειρά:

$e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{ 2!}+\frac{1}{3!}+...$

Ιδιότητες του ε

Αμοιβαία του ε

Το αντίστροφο του e είναι το όριο:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=\frac{1}{e}$

Παράγωγα του e

Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης είναι η εκθετική συνάρτηση:

(e^x)' = e^x

Η παράγωγος της συνάρτησης φυσικού λογάριθμου είναι η αμοιβαία συνάρτηση:

(log_ex)' = (ln x)' = 1/x

Ολοκληρώματα του e

Το αόριστο ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης e ^x είναι η εκθετική συνάρτηση e ^x .

∫ e^xdx = e^x+c

Το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης φυσικού λογάριθμου log _e x είναι:

∫ log_ex dx = ∫ lnx dx = x ln x - x +c

Το οριστικό ολοκλήρωμα από το 1 έως το e της αντίστροφης συνάρτησης 1/x είναι 1:

$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\: dx=1$

Βάση και λογάριθμος

Ο φυσικός λογάριθμος ενός αριθμού x ορίζεται ως ο λογάριθμος βάσης e του x:

ln x = log_ex

Εκθετικη συναρτηση

Η εκθετική συνάρτηση ορίζεται ως:

f (x) = exp(x) = e^x

Ο τύπος του Euler

Ο μιγαδικός αριθμός e ^iθ έχει την ταυτότητα:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

Το i είναι η φανταστική μονάδα (η τετραγωνική ρίζα του -1).

θ είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.