Logarithmusregeln

Der Logarithmus zur Basis b einer Zahl ist der Exponent , den wir zur Erhöhung der Basis benötigen, um die Zahl zu erhalten.

Logarithmus-Definition

Wenn b mit y potenziert wird ist gleich x:

b y = x

Dann ist der Logarithmus zur Basis b von x gleich y:

logb(x) = y

Zum Beispiel wenn:

24 = 16

Dann

log2(16) = 4

Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Die logarithmische Funktion,

y = logb(x)

ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion,

x = by

Wenn wir also die Exponentialfunktion des Logarithmus von x berechnen (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Oder wenn wir den Logarithmus der Exponentialfunktion von x berechnen,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Natürlicher Logarithmus (ln)

Natürlicher Logarithmus ist ein Logarithmus zur Basis e:

ln(x) = loge(x)

Wenn e konstant die Zahl ist:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

oder

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Siehe: Natürlicher Logarithmus

Berechnung des umgekehrten Logarithmus

Der inverse Logarithmus (oder Antilogarithmus) wird berechnet, indem die Basis b zum Logarithmus y erhoben wird:

x = log-1(y) = b y

Logarithmische Funktion

Die logarithmische Funktion hat die Grundform:

f (x) = logb(x)

Logarithmische Regeln

Regelname Regel
Logarithmische Produktregel
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logarithmische Quotientenregel
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logarithmische Potenzregel
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logarithmische Basiswechselregel
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logarithmische Basisänderungsregel
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Ableitung des Logarithmus
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Integral des Logarithmus
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logarithmus einer negativen Zahl
 log b ( x ) ist undefiniert, wenn x ≤ 0
Logarithmus von 0
 log b (0) ist undefiniert
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logarithmus von 1
 log b (1) = 0
Logarithmus der Basis
 log b ( b ) = 1
Logarithmus der Unendlichkeit
 lim log b ( x ) = ∞, wenn x →∞

Siehe: Logarithmusregeln

 

Logarithmische Produktregel

Der Logarithmus der Multiplikation von x und y ist die Summe aus Logarithmus von x und Logarithmus von y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Zum Beispiel:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logarithmische Quotientenregel

Der Logarithmus der Division von x und y ist die Differenz von Logarithmus von x und Logarithmus von y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Zum Beispiel:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logarithmische Potenzregel

Der Logarithmus von x potenziert mit y ist das y-fache des Logarithmus von x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Zum Beispiel:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logarithmische Basiswechselregel

Der Logarithmus zur Basis b von c ist 1 dividiert durch den Logarithmus zur Basis c von b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Zum Beispiel:

log2(8) = 1 / log8(2)

Logarithmische Basisänderungsregel

Der Logarithmus zur Basis b von x ist der Logarithmus zur Basis c von x dividiert durch den Logarithmus zur Basis c von b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Um zum Beispiel log 2 (8) im Taschenrechner zu berechnen, müssen wir die Basis auf 10 ändern:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Siehe: Änderungsregel für Protokollbasis

Logarithmus einer negativen Zahl

Der reelle Logarithmus zur Basis b von x, wenn x<=0, ist undefiniert, wenn x negativ oder gleich Null ist:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Siehe: Log der negativen Zahl

Logarithmus von 0

Der Logarithmus zur Basis b von Null ist undefiniert:

logb(0) is undefined

Die Grenze des Logarithmus zur Basis b von x ist minus unendlich, wenn x gegen Null geht:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Siehe: Log von Null

Logarithmus von 1

Der Logarithmus zur Basis b von Eins ist Null:

logb(1) = 0

Zum Beispiel ist der Logarithmus zur Basis zwei von eins null:

log2(1) = 0

Siehe: Protokoll von einem

Logarithmus der Unendlichkeit

Die Grenze des Basis-b-Logarithmus von x ist, wenn x gegen unendlich geht, gleich unendlich:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Siehe: Log der Unendlichkeit

Logarithmus der Basis

Der Logarithmus zur Basis b von b ist eins:

logb(b) = 1

Zum Beispiel ist der Logarithmus zur Basis zwei von zwei eins:

log2(2) = 1

Logarithmische Ableitung

Wann

f (x) = logb(x)

Dann die Ableitung von f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Siehe: Log-Ableitung

Logarithmisches Integral

Das Integral des Logarithmus von x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Zum Beispiel:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logarithmische Annäherung

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Komplexer Logarithmus

Für komplexe Zahl z:

z = reiθ = x + iy

Der komplexe Logarithmus lautet (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logarithmusaufgaben und Lösungen

Problem Nr. 1

Finden Sie x für

log2(x) + log2(x-3) = 2

Lösung:

Anwendung der Produktregel:

log2(x∙(x-3)) = 2

Änderung der Logarithmusform gemäß der Logarithmusdefinition:

x∙(x-3) = 22

Oder

x2-3x-4 = 0

Lösen der quadratischen Gleichung:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Da der Logarithmus für negative Zahlen nicht definiert ist, lautet die Antwort:

x = 4

Problem Nr. 2

Finden Sie x für

log3(x+2) - log3(x) = 2

Lösung:

Anwendung der Quotientenregel:

log3((x+2) / x) = 2

Änderung der Logarithmusform gemäß der Logarithmusdefinition:

(x+2)/x = 32

Oder

x+2 = 9x

Oder

8x = 2

Oder

x = 0.25

Diagramm von log(x)

log(x) ist für reelle nicht positive Werte von x nicht definiert:

Logarithmentabelle

x log 10x _ log 2x _ log e x
0 nicht definiert nicht definiert nicht definiert
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1,791759
7 0,845098 2.807355 1,945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1,698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1,954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5,991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2,845098 9.451211 6,551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logarithmusrechner ►

 

Siehe auch

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