Natürlicher Logarithmus - ln(x)

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e einer Zahl.

• Definition des natürlichen Logarithmus (ln).
• Regeln und Eigenschaften des natürlichen Logarithmus (ln).
  • Ableitung des natürlichen Logarithmus (ln)
  • Integral des natürlichen Logarithmus (ln)
• Komplexer Logarithmus
• Graph von ln(x)
• Tabelle der natürlichen Logarithmen (ln).
• Rechner für den natürlichen Logarithmus

Definition von natürlicher Logarithmus

Wann

e ^y = x

Dann ist der Basis-e-Logarithmus von x

ln(x) = log_e(x) = y

 

Die e-Konstante oder Eulersche Zahl ist:

e ≈ 2,71828183

Ln als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion ln(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e ^x .

Für x > 0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Oder

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Regeln und Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Regelname	Regel	Beispiel
Produktregel	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Quotientenregel	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Machtregel	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
ln Ableitung	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Ganzzahlig	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln negativer Zahl	ln( x ) ist undefiniert, wenn x ≤ 0
ln von Null	ln(0) ist undefiniert
ln von einem	In(1) = 0
ln der Unendlichkeit	lim ln( x ) = ∞ , wenn x →∞
Eulers Identität	ln(-1) = iπ

 

Logarithmische Produktregel

Der Logarithmus der Multiplikation von x und y ist die Summe aus Logarithmus von x und Logarithmus von y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Zum Beispiel:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logarithmische Quotientenregel

Der Logarithmus der Division von x und y ist die Differenz von Logarithmus von x und Logarithmus von y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Zum Beispiel:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Logarithmische Potenzregel

Der Logarithmus von x potenziert mit y ist das y-fache des Logarithmus von x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Zum Beispiel:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Ableitung der Funktion des natürlichen Logarithmus ist die Kehrwertfunktion.

Wann

f (x) = ln(x)

Die Ableitung von f(x) ist:

f ' (x) = 1 / x

Integral des natürlichen Logarithmus

Das Integral der natürlichen Logarithmusfunktion ist gegeben durch:

Wann

f (x) = ln(x)

Das Integral von f(x) ist:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln von 0

Der natürliche Logarithmus von Null ist undefiniert:

ln(0) is undefined

Die Grenze nahe 0 des natürlichen Logarithmus von x ist minus unendlich, wenn x gegen Null geht:

Ln von 1

Der natürliche Logarithmus von Eins ist Null:

ln(1) = 0

Ln der Unendlichkeit

Die Grenze des natürlichen Logarithmus von Unendlich, wenn x sich Unendlich nähert, ist gleich Unendlich:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Komplexer Logarithmus

Für komplexe Zahl z:

z = re^iθ = x + iy

Der komplexe Logarithmus lautet (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Graph von ln(x)

ln(x) ist für reelle nicht positive Werte von x nicht definiert:

Tabelle der natürlichen Logarithmen

x	In x
0	nicht definiert
0 +	- ∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2.302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3.688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5,991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6,551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Logarithmusregeln ►

 

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Siehe auch

• Logarithmus (Log)
• Rechner für den natürlichen Logarithmus
• Natürlicher Logarithmus von Null
• Natürlicher Logarithmus von eins
• Natürlicher Logarithmus von e
• Natürlicher Logarithmus der Unendlichkeit
• Natürlicher Logarithmus einer negativen Zahl
• Ln Umkehrfunktion
• ln(x)-Grafik
• Tabelle des natürlichen Logarithmus
• Logarithmusrechner
• e konstant