Naturlig logaritme - ln(x)

Naturlig logaritme er logaritmen til grundtallet e af et tal.

• Naturlig logaritme (ln) definition
• Naturlig logaritme (ln) regler og egenskaber
  • Afledt af naturlig logaritme (ln)
  • Integral af naturlig logaritme (ln)
• Kompleks logaritme
• Graf over ln(x)
• Naturlige logaritmer (ln) tabel
• Naturlig logaritme lommeregner

Definition af naturlig logaritme

Hvornår

e ^y = x

Så er grundtallet e-logaritmen af ​​x

ln(x) = log_e(x) = y

 

e - konstanten eller Eulers tal er:

e ≈ 2,71828183

Ln som invers funktion af eksponentiel funktion

Den naturlige logaritmefunktion ln(x) er den inverse funktion af eksponentialfunktionen e ^x .

For x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Eller

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Naturlige logaritmeregler og egenskaber

Regelnavn	Herske	Eksempel
Produktregel	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Kvotientregel	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Magt reglen	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
I afledt	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
I integral	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln af negativt tal	ln( x ) er udefineret, når x ≤ 0
ln af nul	ln(0) er udefineret
I af en	ln(1) = 0
I det uendelige	lim ln( x ) = ∞ , når x →∞
Eulers identitet	ln(-1) = iπ

 

Logaritmeproduktregel

Logaritmen af ​​multiplikationen af ​​x og y er summen af ​​logaritmen af ​​x og logaritmen af ​​y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

For eksempel:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logaritmekvotientregel

Logaritmen for divisionen af ​​x og y er forskellen mellem logaritmen af ​​x og logaritmen af ​​y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

For eksempel:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Reglen for logaritmemagt

Logaritmen af ​​x hævet til y potens er y gange logaritmen af ​​x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

For eksempel:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Afledt af naturlig logaritme

Den afledte af den naturlige logaritmefunktion er den reciproke funktion.

Hvornår

f (x) = ln(x)

Den afledte af f(x) er:

f ' (x) = 1 / x

Integral af naturlig logaritme

Integralet af den naturlige logaritmefunktion er givet ved:

Hvornår

f (x) = ln(x)

Integralet af f(x) er:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln på 0

Den naturlige logaritme af nul er udefineret:

ln(0) is undefined

Grænsen nær 0 for den naturlige logaritme af x, når x nærmer sig nul, er minus uendelig:

Ln af 1

Den naturlige logaritme af en er nul:

ln(1) = 0

Ln af uendelighed

Grænsen for naturlig logaritme af uendelighed, når x nærmer sig uendeligheden er lig med uendelig:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Kompleks logaritme

For komplekst tal z:

z = re^iθ = x + iy

Den komplekse logaritme vil være (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Graf over ln(x)

ln(x) er ikke defineret for reelle ikke-positive værdier af x:

Naturlige logaritmer tabel

x	ln x
0	udefineret
0+ _	- ∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10.000	9,210340

 

Regler for logaritme ►

 

---

Se også

• Logaritme (log)
• Naturlig logaritme lommeregner
• Naturlig logaritme af nul
• Naturlig logaritme af en
• Naturlig logaritme af f.eks
• Naturlig logaritme af uendelighed
• Naturlig logaritme af negativt tal
• Ln invers funktion
• ln(x) graf
• Naturlig logaritme tabel
• Logaritme lommeregner
• e konstant