Logaritme regler

Grundtallet b - logaritmen af ​​et tal er eksponenten , som vi skal hæve grundtallet for at få tallet.

Logaritme definition

Når b hæves til potensen af ​​y er x lig med:

b y = x

Så er grundtallet b logaritmen af ​​x lig med y:

logb(x) = y

For eksempel når:

24 = 16

Derefter

log2(16) = 4

Logaritme som invers funktion af eksponentiel funktion

Den logaritmiske funktion,

y = logb(x)

er den inverse funktion af eksponentialfunktionen,

x = by

Så hvis vi beregner eksponentialfunktionen af ​​logaritmen af ​​x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Eller hvis vi beregner logaritmen af ​​eksponentialfunktionen af ​​x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Naturlig logaritme (ln)

Naturlig logaritme er en logaritme til grundtallet e:

ln(x) = loge(x)

Når e konstant er tallet:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

eller

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Se: Naturlig logaritme

Omvendt logaritmeberegning

Den inverse logaritme (eller antilogaritme) beregnes ved at hæve grundtallet b til logaritmen y:

x = log-1(y) = b y

Logaritmisk funktion

Den logaritmiske funktion har den grundlæggende form af:

f (x) = logb(x)

Logaritme regler

Regelnavn Herske
Logaritmeproduktregel
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmekvotientregel
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Reglen for logaritmemagt
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritme base switch regel
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmebaseændringsregel
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Afledt af logaritme
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Integral af logaritme
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logaritme af negativt tal
 log b ( x ) er udefineret, når x ≤ 0
Logaritme af 0
 log b (0) er udefineret
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritme af 1
 log b (1) = 0
Logaritme af basen
 log b ( b ) = 1
Logaritme af uendelighed
 lim log b ( x ) = ∞, når x →∞

Se: Logaritmeregler

 

Logaritmeproduktregel

Logaritmen af ​​multiplikationen af ​​x og y er summen af ​​logaritmen af ​​x og logaritmen af ​​y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

For eksempel:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logaritmekvotientregel

Logaritmen for divisionen af ​​x og y er forskellen mellem logaritmen af ​​x og logaritmen af ​​y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

For eksempel:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Reglen for logaritmemagt

Logaritmen af ​​x hævet til y potens er y gange logaritmen af ​​x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

For eksempel:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritme base switch regel

Grundtallet b logaritmen af ​​c er 1 divideret med grundtallet c logaritmen af ​​b.

logb(c) = 1 / logc(b)

For eksempel:

log2(8) = 1 / log8(2)

Logaritmebaseændringsregel

Grundtallet b logaritmen af ​​x er basis c logaritmen af ​​x divideret med basis c logaritmen af ​​b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

For eksempel, for at beregne log 2 (8) i lommeregneren, skal vi ændre grundtallet til 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Se: logbaseændringsregel

Logaritme af negativt tal

Grundtallet b reelle logaritme af x, når x<=0 er udefineret, når x er negativ eller lig med nul:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Se: log over negativt tal

Logaritme af 0

Grundtallet b-logaritmen af ​​nul er udefineret:

logb(0) is undefined

Grænsen for grundtallet b logaritmen af ​​x, når x nærmer sig nul, er minus uendeligt:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Se: log af nul

Logaritme af 1

Grundtallet b-logaritmen af ​​en er nul:

logb(1) = 0

For eksempel er basis to-logaritmen af ​​én nul:

log2(1) = 0

Se: log over en

Logaritme af uendelighed

Grænsen for basen b logaritmen af ​​x, når x nærmer sig uendeligt, er lig med uendelig:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Se: log af uendelighed

Logaritme af basen

Basis b-logaritmen af ​​b er én:

logb(b) = 1

For eksempel er basis to-logaritmen af ​​to én:

log2(2) = 1

Logaritme afledt

Hvornår

f (x) = logb(x)

Derefter afledet af f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Se: log afledt

Logaritme integral

Integralet af logaritmen af ​​x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

For eksempel:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritme tilnærmelse

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Kompleks logaritme

For komplekst tal z:

z = reiθ = x + iy

Den komplekse logaritme vil være (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritmeproblemer og svar

Problem #1

Find x for

log2(x) + log2(x-3) = 2

Løsning:

Brug af produktreglen:

log2(x∙(x-3)) = 2

Ændring af logaritmeformen i henhold til logaritmedefinitionen:

x∙(x-3) = 22

Eller

x2-3x-4 = 0

Løsning af andengradsligningen:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Da logaritmen ikke er defineret for negative tal, er svaret:

x = 4

Problem #2

Find x for

log3(x+2) - log3(x) = 2

Løsning:

Brug af kvotientreglen:

log3((x+2) / x) = 2

Ændring af logaritmeformen i henhold til logaritmedefinitionen:

(x+2)/x = 32

Eller

x+2 = 9x

Eller

8x = 2

Eller

x = 0.25

Graf over log(x)

log(x) er ikke defineret for reelle ikke-positive værdier af x:

Logaritme tabel

x log 10 x log 2 x log e x
0 udefineret udefineret udefineret
0+ _ - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3.321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6,129283 4,248495
80 1,903090 6,321928 4,382027
90 1,954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6,214608
600 2,778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10.000 4 13.287712 9,210340

 

Logaritme-beregner ►

 

Se også

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°