Pravidla logaritmu

Logaritmus základu b čísla je exponent , který potřebujeme ke zvýšení základu , abychom číslo dostali.

Definice logaritmu

Když je b umocněno na y, rovná se x:

b y = x

Potom se základní b logaritmus x rovná y:

logb(x) = y

Například když:

24 = 16

Pak

log2(16) = 4

Logaritmus jako inverzní funkce exponenciální funkce

logaritmická funkce,

y = logb(x)

je inverzní funkce exponenciální funkce,

x = by

Pokud tedy vypočítáme exponenciální funkci logaritmu x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Nebo když vypočítáme logaritmus exponenciální funkce x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Přirozený logaritmus (ln)

Přirozený logaritmus je logaritmus se základem e:

ln(x) = loge(x)

Když e konstanta je číslo:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

nebo

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Viz: Přirozený logaritmus

Výpočet inverzního logaritmu

Inverzní logaritmus (nebo antilogaritmus) se vypočítá zvýšením základu b na logaritmus y:

x = log-1(y) = b y

Logaritmická funkce

Logaritmická funkce má základní tvar:

f (x) = logb(x)

Logaritmická pravidla

Název pravidla Pravidlo
Logaritmické pravidlo součinu
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmické kvocientové pravidlo
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmické mocninné pravidlo
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmické pravidlo základního přepínače
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Pravidlo změny základu logaritmu
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivace logaritmu
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Integrál logaritmu
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Logaritmus záporného čísla
 log b ( x ) není definováno, když x ≤ 0
Logaritmus 0
 log b (0) není definováno
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritmus 1
 log b (1) = 0
Logaritmus základny
 log b ( b ) = 1
Logaritmus nekonečna
 lim log b ( x ) = ∞, když x →∞

Viz: Pravidla logaritmu

 

Logaritmické pravidlo součinu

Logaritmus násobení x a y je součtem logaritmu x a logaritmu y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Například:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logaritmické kvocientové pravidlo

Logaritmus dělení x a y je rozdílem logaritmu x a logaritmu y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Například:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logaritmické mocninné pravidlo

Logaritmus x umocněný na y je y krát logaritmus x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Například:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritmické pravidlo základního přepínače

Logaritmus základu b z c je 1 dělený logaritmem základu c z b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Například:

log2(8) = 1 / log8(2)

Pravidlo změny základu logaritmu

Základ b logaritmu x je základ c logaritmus x dělený základem c logaritmus b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Například, abychom mohli vypočítat log 2 (8) v kalkulačce, musíme změnit základ na 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Viz: pravidlo o změně základu protokolu

Logaritmus záporného čísla

Reálný logaritmus základu b x, když x<=0 není definován, když x je záporné nebo rovné nule:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Viz: log záporného čísla

Logaritmus 0

Logaritmus základu b nuly není definován:

logb(0) is undefined

Limita základního b logaritmu x, když se x blíží nule, je mínus nekonečno:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Viz: log nuly

Logaritmus 1

Logaritmus základny b jedničky je nula:

logb(1) = 0

Například základní dva logaritmy jedničky je nula:

log2(1) = 0

Viz: protokol jednoho

Logaritmus nekonečna

Limita základního b logaritmu x, když se x blíží nekonečnu, se rovná nekonečnu:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Viz: log nekonečna

Logaritmus základny

Logaritmus b základu b je jedna:

logb(b) = 1

Například základní dva logaritmy dvou je jedna:

log2(2) = 1

Logaritmická derivace

Když

f (x) = logb(x)

Pak derivace f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Viz: logaritmická derivace

Logaritmický integrál

Integrál logaritmu x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Například:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritmická aproximace

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Komplexní logaritmus

Pro komplexní číslo z:

z = reiθ = x + iy

Komplexní logaritmus bude (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritmické problémy a odpovědi

Problém #1

Najděte x pro

log2(x) + log2(x-3) = 2

Řešení:

Použití pravidla produktu:

log2(x∙(x-3)) = 2

Změna tvaru logaritmu podle definice logaritmu:

x∙(x-3) = 22

Nebo

x2-3x-4 = 0

Řešení kvadratické rovnice:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Protože logaritmus není definován pro záporná čísla, odpověď je:

x = 4

Problém #2

Najděte x pro

log3(x+2) - log3(x) = 2

Řešení:

Pomocí pravidla podílu:

log3((x+2) / x) = 2

Změna tvaru logaritmu podle definice logaritmu:

(x+2)/x = 32

Nebo

x+2 = 9x

Nebo

8x = 2

Nebo

x = 0.25

Graf log(x)

log(x) není definován pro skutečné nekladné hodnoty x:

Tabulka logaritmů

X log 10x _ log 2x _ log e x
0 nedefinováno nedefinováno nedefinováno
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1,301030 4,321928 2,995732
30 1,477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1,778151 5,906991 4,094345
70 1,845098 6,129283 4,248495
80 1,903090 6,321928 4,382027
90 1,954243 6,491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5,298317
300 2,477121 8,228819 5,703782
400 2,602060 8,643856 5,991465
500 2,698970 8,965784 6,214608
600 2,778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10 000 4 13,287712 9,210340

 

Logaritmická kalkulačka ►

 

Viz také

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°