Logaritmická změna základního pravidla

Abychom změnili základ z b na c, můžeme použít logaritmickou změnu základního pravidla. Logaritmus základu b pro x se rovná základnímu logaritmu c logaritmu x děleno logaritmem základu c b:

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Příklad #1

log₂(100) = log₁₀(100) / log₁₀(2) = 2 / 0.30103 = 6.64386

Příklad č. 2

log₃(50) = log₈(50) / log₈(3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766

Důkaz

Zvýšení b o mocninu logaritmu základu b z x dává x:

(1) x = b^logb^(x)

Zvýšením c o mocninu základního c logaritmu b dává b:

(2) b = c^logc^(b)

Když vezmeme (1) a nahradíme b c ^logc^{( b )} (2), dostaneme:

(3) x = b^logb^(x) = (c^logc^(b))^logb^(x) = c^logc^(b)×logb^(x)

Použitím log _c () na obě strany (3):

log_c(x) = log_c(c^logc^(b)×logb^(x))

Použitím pravidla logaritmické mocniny :

log_c(x) = [log_c(b)×log_b(x)] × log_c(c)

Protože log _c ( c )=1

log_c(x) = log_c(b)×log_b(x)

Nebo

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Logaritmus nuly ►

Logaritmická změna základního pravidla