Přirozený logaritmus - ln(x)

Přirozený logaritmus je logaritmus se základem e čísla.

• Definice přirozeného logaritmu (ln).
• Pravidla a vlastnosti přirozeného logaritmu (ln).
  • Derivace přirozeného logaritmu (ln)
  • Integrál přirozeného logaritmu (ln)
• Komplexní logaritmus
• Graf ln(x)
• Tabulka přirozených logaritmů (ln).
• Kalkulačka přirozeného logaritmu

Definice přirozeného logaritmu

Když

e ^y = x

Pak je základní e logaritmus x

ln(x) = log_e(x) = y

 

Konstanta e neboli Eulerovo číslo je:

e ≈ 2,71828183

Ln jako inverzní funkce exponenciální funkce

Přirozená logaritmická funkce ln(x) je inverzní funkcí exponenciální funkce e ^x .

Pro x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Nebo

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Pravidla a vlastnosti přirozeného logaritmu

Název pravidla	Pravidlo	Příklad
Pravidlo produktu	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Pravidlo podílu	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Mocenské pravidlo	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
ln derivát	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
V integrálu	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln záporného čísla	ln( x ) není definováno, když x ≤ 0
ln nula	ln(0) není definováno
ln z jednoho	ln(1) = 0
V nekonečnu	lim ln( x ) = ∞ , když x →∞
Eulerova identita	ln(-1) = iπ

 

Logaritmické pravidlo součinu

Logaritmus násobení x a y je součtem logaritmu x a logaritmu y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Například:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logaritmické kvocientové pravidlo

Logaritmus dělení x a y je rozdílem logaritmu x a logaritmu y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Například:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Logaritmické mocninné pravidlo

Logaritmus x umocněný na y je y krát logaritmus x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Například:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Derivace přirozeného logaritmu

Derivace přirozené logaritmické funkce je reciproká funkce.

Když

f (x) = ln(x)

Derivace f(x) je:

f ' (x) = 1 / x

Integrál přirozeného logaritmu

Integrál přirozené logaritmické funkce je dán vztahem:

Když

f (x) = ln(x)

Integrál f(x) je:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln 0

Přirozený logaritmus nuly není definován:

ln(0) is undefined

Limit blízko 0 přirozeného logaritmu x, když se x blíží nule, je mínus nekonečno:

Ln z 1

Přirozený logaritmus jedné je nula:

ln(1) = 0

Ln nekonečna

Limita přirozeného logaritmu nekonečna, když se x blíží nekonečnu, se rovná nekonečnu:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Komplexní logaritmus

Pro komplexní číslo z:

z = re^iθ = x + iy

Komplexní logaritmus bude (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Graf ln(x)

ln(x) není definováno pro skutečné nekladné hodnoty x:

Tabulka přirozených logaritmů

X	ln x
0	nedefinováno
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2,197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10 000	9,210340

 

Pravidla logaritmu ►

 

---

Viz také

• logaritmus (log)
• Kalkulačka přirozeného logaritmu
• Přirozený logaritmus nuly
• Přirozený logaritmus jedničky
• Přirozený logaritmus e
• Přirozený logaritmus nekonečna
• Přirozený logaritmus záporného čísla
• Inverzní funkce Ln
• ln(x) graf
• Tabulka přirozeného logaritmu
• Logaritmická kalkulačka
• e konstantní