لوگارتھم کے اصول

ایک عدد کابیس بی لوگارتھم وہ کفایتی ہے جسے نمبر حاصل کرنے کے لیے ہمیں بیس کو بڑھانے کی ضرورت ہے۔

لوگارتھم کی تعریف

جب b کو y کی طاقت تک بڑھایا جاتا ہے تو x برابر ہوتا ہے:

b y = x

پھر x کا بیس بی لاگرتھم y کے برابر ہے:

logb(x) = y

مثال کے طور پر جب:

24 = 16

پھر

log2(16) = 4

لاگرتھم بطور ایکسپونیشنل فنکشن کے الٹا فنکشن

لوگارتھمک فنکشن،

y = logb(x)

ایکسپونشنل فنکشن کا الٹا فعل ہے،

x = by

لہذا اگر ہم x (x> 0) کے لوگارتھم کے کفایتی فعل کا حساب لگاتے ہیں،

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

یا اگر ہم ایکس کے ایکسپونیشنل فنکشن کے لوگارتھم کا حساب لگاتے ہیں،

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

قدرتی لوگارتھم (ln)

قدرتی لوگارتھم بیس ای کا لوگارتھم ہے:

ln(x) = loge(x)

جب ای مستقل نمبر ہے:

e=\lim_{x\rightarrow\infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...

یا

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

دیکھیں: قدرتی لوگارتھم

الٹا لاگرتھم کا حساب کتاب

الٹا لوگارتھم (یا اینٹی لوگارتھم) کا حساب بی کو بیس کو لوگارتھم y تک بڑھا کر لگایا جاتا ہے:

x = log-1(y) = b y

لوگاریتھمک فنکشن

لوگارتھمک فنکشن کی بنیادی شکل ہے:

f (x) = logb(x)

لوگارتھم کے اصول

اصول کا نام قاعدہ
لوگارتھم پروڈکٹ کا اصول
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
لوگارتھم کوٹینٹ اصول
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
لوگارتھم پاور رول
 log b ( x y ) = y ∙ لاگ b ( x )
لوگارتھم بیس سوئچ کا اصول
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
لوگارتھم بنیادی تبدیلی کا اصول
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
لوگارتھم کا مشتق
 f ( x ) = لاگ بی ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
لوگارتھم کا انٹیگرل
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
منفی نمبر کا لوگارتھم
 log b ( x ) کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے جب x ≤ 0
0 کا لوگارتھم
 لاگ بی (0) غیر متعینہ ہے ۔
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
1 کا لوگارتھم
 لاگ بی (1) = 0
بیس کا لوگارتھم
 لاگ بی ( بی ) = 1
انفینٹی کا لوگارتھم
 lim log b ( x ) = ∞، جب x →∞

دیکھیں: لوگارتھم کے اصول

 

لوگارتھم پروڈکٹ کا اصول

x اور y کی ضرب کا لاگرتھم x کے لوگارتھم اور y کے لوگارتھم کا مجموعہ ہے۔

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

مثال کے طور پر:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

لوگارتھم کوٹینٹ اصول

x اور y کی تقسیم کا لوگارتھم x کے لوگارتھم اور y کے لوگارتھم کا فرق ہے۔

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

مثال کے طور پر:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

لوگارتھم پاور رول

x کا لاگرتھم y کی طاقت پر اٹھایا گیا x کے لاگرتھم کا y گنا ہے۔

logb(x y) = y ∙ logb(x)

مثال کے طور پر:

log10(28) = 8∙ log10(2)

لوگارتھم بیس سوئچ کا اصول

c کا بنیادی b لوگارتھم 1 کو b کے بنیادی c لاگرتھم سے تقسیم کیا جاتا ہے۔

logb(c) = 1 / logc(b)

مثال کے طور پر:

log2(8) = 1 / log8(2)

لوگارتھم بنیادی تبدیلی کا اصول

x کا بیس b لوگارتھم x کا بیس c لوگارتھم ہے جسے b کے بیس c لوگارتھم سے تقسیم کیا گیا ہے۔

logb(x) = logc(x) / logc(b)

مثال کے طور پر، کیلکولیٹر میں لاگ 2 (8) کا حساب لگانے کے لیے، ہمیں بیس کو 10 میں تبدیل کرنا ہوگا:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

دیکھیں: لاگ بیس تبدیلی کا اصول

منفی نمبر کا لوگارتھم

جب x منفی یا صفر کے برابر ہو تو x<=0 کی وضاحت نہ ہونے پر x کا بنیادی b اصلی لاگرتھم:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

دیکھیں: منفی نمبر کا لاگ

0 کا لوگارتھم

صفر کا بنیادی بی لاگرتھم غیر متعینہ ہے:

logb(0) is undefined

x کے بیس بی لاگرتھم کی حد، جب x صفر کے قریب پہنچتا ہے، مائنس انفینٹی ہے:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

دیکھیں: صفر کا لاگ

1 کا لوگارتھم

ایک کا بنیادی بی لاگرتھم صفر ہے:

logb(1) = 0

مثال کے طور پر، ایک کا teh بیس دو لوگارتھم صفر ہے:

log2(1) = 0

دیکھیں: ایک کا لاگ

انفینٹی کا لوگارتھم

x کے بیس بی لاگرتھم کی حد، جب x لامحدودیت کے قریب پہنچتا ہے، لامحدودیت کے برابر ہوتا ہے:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

دیکھیں: لاگ آف انفینٹی

بیس کا لوگارتھم

بی کا بنیادی بی لاگرتھم ایک ہے:

logb(b) = 1

مثال کے طور پر، دو کا بنیادی دو لوگارتھم ایک ہے:

log2(2) = 1

لوگارتھم مشتق

کب

f (x) = logb(x)

پھر f(x) کا مشتق:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

دیکھیں: log derivative

لاگرتھم انٹیگرل

x کے لوگارتھم کا انضمام:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

مثال کے طور پر:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

لوگارتھم کا تخمینہ

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

پیچیدہ لوگارتھم

کمپلیکس نمبر z کے لیے:

z = reiθ = x + iy

پیچیدہ لوگارتھم ہو گا (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

لوگارتھم کے مسائل اور جوابات

مسئلہ نمبر 1

ایکس کے لیے تلاش کریں۔

log2(x) + log2(x-3) = 2

حل:

مصنوعات کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے:

log2(x∙(x-3)) = 2

لوگارتھم کی تعریف کے مطابق لوگارتھم فارم کو تبدیل کرنا:

x∙(x-3) = 22

یا

x2-3x-4 = 0

چوکور مساوات کو حل کرنا:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

چونکہ لوگارتھم منفی نمبروں کے لیے متعین نہیں ہے، اس لیے جواب ہے:

x = 4

مسئلہ نمبر 2

ایکس کے لیے تلاش کریں۔

log3(x+2) - log3(x) = 2

حل:

اقتباس کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے:

log3((x+2) / x) = 2

لوگارتھم کی تعریف کے مطابق لوگارتھم فارم کو تبدیل کرنا:

(x+2)/x = 32

یا

x+2 = 9x

یا

8x = 2

یا

x = 0.25

لاگ کا گراف (x)

log(x) کو x کی حقیقی غیر مثبت اقدار کے لیے بیان نہیں کیا گیا ہے۔

لوگارتھمز ٹیبل

ایکس لاگ 10 ایکس لاگ 2 ایکس لاگ ای ایکس
0 غیر متعینہ غیر متعینہ غیر متعینہ
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0.0001 -4 -13.287712 -9.210340
0.001 -3 -9.965784 -6.907755
0.01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0.693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0.698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1.791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

لوگارتھم کیلکولیٹر ►

 

بھی دیکھو

Advertising

الجبرا
°• CmtoInchesConvert.com •°