ای مسلسل

ای مستقل یا یولر کا نمبر ایک ریاضیاتی مستقل ہے۔ای مستقل حقیقی اور غیر معقول نمبر ہے۔

e = 2.718281828459...

ای کی تعریف
ای کی خصوصیات
بیس اور لوگارتھم
کفایتی فنکشن
یولر کا فارمولا

ای کی تعریف

ای مستقل کو حد کے طور پر بیان کیا گیا ہے:

$e=\lim_{x\rightarrow\infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...$

متبادل تعریفیں

ای مستقل کو حد کے طور پر بیان کیا گیا ہے:

$e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}$

ای مستقل کو لامحدود سیریز کے طور پر بیان کیا گیا ہے:

$e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{ 2!}+\frac{1}{3!}+...$

ای کی خصوصیات

ای کا باہمی

e کا باہمی حد ہے:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=\frac{1}{e}$

ای کے مشتقات

ایکسپونینشل فنکشن کا مشتق ایکسپونیشنل فنکشن ہے:

(e^x)' = e^x

قدرتی لوگارتھم فنکشن کا مشتق باہمی فعل ہے:

(log_ex)' = (ln x)' = 1/x

ای کے انٹیگرلز

ایکسپونینشل فنکشن e ^x کا غیر معینہ انٹیگرل ایکسپونینشل فنکشن e ^x ہے ۔

∫ e^xdx = e^x+c

قدرتی لوگارتھم فنکشن لاگ _ای ایکس کا غیر معینہ انٹیگرل ہے:

∫ log_ex dx = ∫ lnx dx = x ln x - x +c

باہم فعل 1/x کا 1 سے e تک کا قطعی انضمام 1 ہے:

$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\: dx=1$

بیس اور لوگارتھم

ایک عدد x کا فطری لوگارتھم x کے بیس ای لوگارتھم کے طور پر بیان کیا جاتا ہے:

ln x = log_ex

کفایتی فنکشن

کفایتی فنکشن کی تعریف اس طرح کی گئی ہے:

f (x) = exp(x) = e^x

یولر کا فارمولا

پیچیدہ نمبر e ^iθ کی شناخت ہے:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

i خیالی اکائی ہے (-1 کا مربع جڑ)۔

θ کوئی بھی حقیقی نمبر ہے۔