Logaritm natural - ln(x)

Logaritmul natural este logaritmul la baza e a unui număr.

• Definiția logaritmului natural (ln).
• Reguli și proprietăți ale logaritmului natural (ln).
  • Derivată a logaritmului natural (ln)
  • Integrala logaritmului natural (ln)
• Logaritm complex
• Graficul lui ln(x)
• Tabel cu logaritmi naturali (ln).
• Calculator cu logaritm natural

Definiţia natural logarithm

Când

e ^y = x

Atunci baza e logaritmul lui x este

ln(x) = log_e(x) = y

 

Constanta e sau numărul lui Euler este:

e ≈ 2,71828183

Ln ca funcție inversă a funcției exponențiale

Funcția logaritm natural ln(x) este funcția inversă a funcției exponențiale e ^x .

Pentru x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Sau

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Reguli și proprietăți ale logaritmului natural

Numele regulii	Regulă	Exemplu
Regula produsului	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Regula coeficientului	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Regula puterii	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
în derivat	f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
In integral	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln de număr negativ	ln( x ) este nedefinit când x ≤ 0
ln de zero	ln(0) este nedefinit
Într-unul	ln(1) = 0
In infinit	lim ln( x ) = ∞ , când x →∞
identitatea lui Euler	ln(-1) = iπ

 

Regula produsului logaritm

Logaritmul înmulțirii lui x și y este suma logaritmului lui x și logaritmului lui y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

De exemplu:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Regula coeficientului de logaritm

Logaritmul împărțirii lui x și y este diferența dintre logaritmul lui x și logaritmul lui y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

De exemplu:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Regula puterii logaritmului

Logaritmul lui x ridicat la puterea lui y este de y ori logaritmul lui x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

De exemplu:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Derivată a logaritmului natural

Derivata funcției logaritmului natural este funcția reciprocă.

Când

f (x) = ln(x)

Derivata lui f(x) este:

f ' (x) = 1 / x

Integrala logaritmului natural

Integrala funcției logaritmului natural este dată de:

Când

f (x) = ln(x)

Integrala lui f(x) este:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln de 0

Logaritmul natural al lui zero este nedefinit:

ln(0) is undefined

Limita de lângă 0 a logaritmului natural al lui x, când x se apropie de zero, este minus infinitul:

Ln de 1

Logaritmul natural al lui unu este zero:

ln(1) = 0

Ln de infinit

Limita logaritmului natural al infinitului, când x se apropie de infinit este egală cu infinitul:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Logaritm complex

Pentru numărul complex z:

z = re^iθ = x + iy

Logaritmul complex va fi (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Graficul lui ln(x)

ln(x) nu este definit pentru valorile reale nepozitive ale lui x:

Tabelul logaritmilor naturali

X	ln x
0	nedefinit
0 +	- ∞
0,0001	-9,210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2.197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3.401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4,382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6,214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10000	9,210340

 

Regulile logaritmului ►

 

---

Vezi si

• Logaritm (log)
• Calculator cu logaritm natural
• Logaritmul natural de zero
• Logaritmul natural de unu
• Logaritmul natural al lui e
• Logaritmul natural al infinitului
• Logaritmul natural al numărului negativ
• Ln funcţie inversă
• Graficul ln(x).
• Tabelul logaritmului natural
• Calculator de logaritm
• e constantă