Reguli de logaritm

Baza b logaritmul unui număr esteexponentul de care avem nevoie pentru a crește baza pentru a obține numărul.

• Definiția logaritmului
• Reguli de logaritm
• Probleme de logaritm
• Logaritm complex
• Graficul log(x)
• Tabel logaritmic
• Calculator de logaritm

Definiția logaritmului

Când b este ridicat la puterea lui y este egal cu x:

b ^y = x

Atunci baza b logaritmului lui x este egal cu y:

log_b(x) = y

De exemplu când:

2⁴ = 16

Apoi

log₂(16) = 4

Logaritmul ca funcție inversă a funcției exponențiale

Funcția logaritmică,

y = log_b(x)

este funcția inversă a funcției exponențiale,

x = b^y

Deci, dacă calculăm funcția exponențială a logaritmului lui x (x>0),

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

Sau dacă calculăm logaritmul funcției exponențiale a lui x,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

Logaritm natural (ln)

Logaritmul natural este un logaritm la baza e:

ln(x) = log_e(x)

Când e constantă este numărul:

sau

 

Vezi: Logaritm natural

Calcularea logaritmului invers

Logaritmul invers (sau antilogaritmul) se calculează prin ridicarea bazei b la logaritmul y:

x = log^-1(y) = b ^y

Funcția logaritmică

Funcția logaritmică are forma de bază:

f (x) = log_b(x)

Reguli de logaritm

Numele regulii	Regulă
Regula produsului logaritm	log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Regula coeficientului de logaritm	log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Regula puterii logaritmului	log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Regula comutatorului de bază a logaritmului	log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Regula de schimbare a bazei logaritmului	log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivată a logaritmului	f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Integrala logaritmului	∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logaritmul numărului negativ	log b ( x ) este nedefinit când x ≤ 0
Logaritmul de 0	log b (0) este nedefinit
Logaritmul de 1	log b (1) = 0
Logaritmul bazei	log b ( b ) = 1
Logaritmul infinitului	lim log b ( x ) = ∞, când x →∞

Vezi: Reguli de logaritm

 

Regula produsului logaritm

Logaritmul înmulțirii lui x și y este suma logaritmului lui x și logaritmului lui y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

De exemplu:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Regula coeficientului de logaritm

Logaritmul împărțirii lui x și y este diferența dintre logaritmul lui x și logaritmul lui y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

De exemplu:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Regula puterii logaritmului

Logaritmul lui x ridicat la puterea lui y este de y ori logaritmul lui x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

De exemplu:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Regula comutatorului de bază a logaritmului

Logaritmul de bază b al lui c este 1 împărțit la logaritmul de bază c al lui b.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

De exemplu:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

Regula de schimbare a bazei logaritmului

Baza b logaritmul lui x este baza c logaritmul lui x împărțit la baza c logaritmul lui b.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

De exemplu, pentru a calcula log ₂ (8) în calculator, trebuie să schimbăm baza la 10:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

Vezi: regula de modificare a bazei de jurnal

Logaritmul numărului negativ

Baza b logaritmul real al lui x când x<=0 este nedefinită când x este negativ sau egal cu zero:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

Vezi: jurnalul numărului negativ

Logaritmul de 0

Logaritmul de bază b a lui zero este nedefinit:

log_b(0) is undefined

Limita bazei b logaritmului lui x, când x se apropie de zero, este minus infinit:

Vezi: log de zero

Logaritmul de 1

Baza b logaritmul lui unu este zero:

log_b(1) = 0

De exemplu, logaritmul de bază doi al unuia este zero:

log₂(1) = 0

Vezi: jurnalul unuia

Logaritmul infinitului

Limita bazei b logaritmului lui x, când x se apropie de infinit, este egală cu infinitul:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

Vezi: jurnalul infinitului

Logaritmul bazei

Logaritmul de bază b al lui b este unul:

log_b(b) = 1

De exemplu, logaritmul de bază doi a lui doi este unul:

log₂(2) = 1

Derivată logaritmică

Când

f (x) = log_b(x)

Atunci derivata lui f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Vezi: derivat din jurnal

Integrală logaritmică

Integrala logaritmului lui x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

De exemplu:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

Aproximație logaritmică

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

Logaritm complex

Pentru numărul complex z:

z = re^iθ = x + iy

Logaritmul complex va fi (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Probleme de logaritm și răspunsuri

Problema #1

Găsiți x pentru

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

Soluţie:

Folosind regula produsului:

log₂(x∙(x-3)) = 2

Schimbarea formei logaritmului conform definiției logaritmului:

x∙(x-3) = 2²

Sau

x²-3x-4 = 0

Rezolvarea ecuației pătratice:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Deoarece logaritmul nu este definit pentru numerele negative, răspunsul este:

x = 4

Problema #2

Găsiți x pentru

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

Soluţie:

Folosind regula coeficientului:

log₃((x+2) / x) = 2

Schimbarea formei logaritmului conform definiției logaritmului:

(x+2)/x = 3²

Sau

x+2 = 9x

Sau

8x = 2

Sau

x = 0.25

Graficul log(x)

log(x) nu este definit pentru valorile reale nepozitive ale lui x:

Tabelul de logaritmi

X	log 10 x	log 2 x	log e x
0	nedefinit	nedefinit	nedefinit
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0,0001	-4	-13,287712	-9,210340
0,001	-3	-9,965784	-6,907755
0,01	-2	-6,643856	-4,605170
0,1	-1	-3,321928	-2,302585
1	0	0	0
2	0,301030	1	0,693147
3	0,477121	1,584963	1,098612
4	0,602060	2	1,386294
5	0,698970	2,321928	1,609438
6	0,778151	2,584963	1,791759
7	0,845098	2,807355	1,945910
8	0,903090	3	2,079442
9	0,954243	3,169925	2.197225
10	1	3,321928	2,302585
20	1,301030	4,321928	2,995732
30	1,477121	4,906891	3.401197
40	1,602060	5,321928	3,688879
50	1,698970	5,643856	3,912023
60	1,778151	5,906991	4,094345
70	1,845098	6,129283	4,248495
80	1,903090	6,321928	4,382027
90	1,954243	6,491853	4,499810
100	2	6,643856	4,605170
200	2.301030	7,643856	5,298317
300	2,477121	8,228819	5,703782
400	2,602060	8,643856	5,991465
500	2,698970	8,965784	6,214608
600	2,778151	9,228819	6,396930
700	2,845098	9,451211	6,551080
800	2,903090	9,643856	6,684612
900	2,954243	9,813781	6,802395
1000	3	9,965784	6,907755
10000	4	13,287712	9,210340

 

Calculator logaritm ►

 

---

Vezi si

• Reguli de logaritm
• Schimbarea logaritmului bazei
• Logaritm de zero
• Logaritmul unu
• Logaritmul infinitului
• Logaritmul numărului negativ
• Calculator de logaritm
• Graficul logaritmului
• Tabel logaritmic
• Calculator cu logaritm natural
• Logaritmul natural - ln x
• e constantă
• Decibel (dB)