Zasady logarytmu

Logarytm o podstawie b liczby to wykładnik , o który musimy podnieść podstawę , aby otrzymać tę liczbę.

Definicja logarytmu

Kiedy b jest podniesione do potęgi y równa się x:

b y = x

Wtedy logarytm o podstawie b z x jest równy y:

logb(x) = y

Na przykład, gdy:

24 = 16

Następnie

log2(16) = 4

Logarytm jako funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej

Funkcja logarytmiczna,

y = logb(x)

jest funkcją odwrotną funkcji wykładniczej,

x = by

Więc jeśli obliczymy funkcję wykładniczą logarytmu x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Lub jeśli obliczymy logarytm funkcji wykładniczej x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Logarytm naturalny (ln)

Logarytm naturalny to logarytm o podstawie e:

ln(x) = loge(x)

Gdy stała e jest liczbą:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

Lub

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Zobacz: Logarytm naturalny

Obliczanie logarytmu odwrotnego

Odwrotny logarytm (lub antylogarytm) oblicza się, podnosząc podstawę b do logarytmu y:

x = log-1(y) = b y

Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna ma podstawową postać:

f (x) = logb(x)

Zasady logarytmu

Nazwa reguły Reguła
Reguła iloczynu logarytmu
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Reguła ilorazu logarytmów
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Reguła potęgowa logarytmu
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Reguła zmiany podstawy logarytmu
 log b ( do) = 1 / log do ( b )
Reguła zmiany podstawy logarytmu
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Pochodna logarytmu
 fa ( x ) = log b ( x ) ⇒ fa ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Całka z logarytmu
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + do
Logarytm liczby ujemnej
 log b ( x ) jest nieokreślony, gdy x ≤ 0
Logarytm 0
 log b (0) jest nieokreślony
\lim_{x\do 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logarytm z 1
 log b (1) = 0
Logarytm podstawy
 log b ( b ) = 1
Logarytm nieskończoności
 lim log b ( x ) = ∞, gdy x →∞

Zobacz: Reguły logarytmu

 

Reguła iloczynu logarytmu

Logarytm mnożenia x i y jest sumą logarytmu x i logarytmu y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Na przykład:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Reguła ilorazu logarytmów

Logarytm dzielenia x i y jest różnicą logarytmu x i logarytmu y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Na przykład:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Reguła potęgowa logarytmu

Logarytm x podniesiony do potęgi y to y razy logarytm x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Na przykład:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Reguła zmiany podstawy logarytmu

Logarytm o podstawie b z c to 1 podzielone przez logarytm o podstawie c z b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Na przykład:

log2(8) = 1 / log8(2)

Reguła zmiany podstawy logarytmu

Logarytm o podstawie b z x to logarytm o podstawie c z x podzielony przez logarytm o podstawie c z b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Na przykład, aby obliczyć log 2 (8) w kalkulatorze, musimy zmienić podstawę na 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Zobacz: reguła zmiany bazy dziennika

Logarytm liczby ujemnej

Logarytm rzeczywisty o podstawie b z x, gdy x<=0 jest niezdefiniowany, gdy x jest ujemne lub równe zeru:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Zobacz: log liczby ujemnej

Logarytm 0

Logarytm o podstawie b z zera jest niezdefiniowany:

logb(0) is undefined

Granica logarytmu o podstawie b z x, gdy x dąży do zera, wynosi minus nieskończoność:

\lim_{x\do 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Zobacz: dziennik zerowy

Logarytm z 1

Logarytm o podstawie b z jedynki wynosi zero:

logb(1) = 0

Na przykład logarytm o podstawie 2 z jedynki wynosi zero:

log2(1) = 0

Zobacz: dziennik jednego

Logarytm nieskończoności

Granica logarytmu o podstawie b z x, gdy x dąży do nieskończoności, jest równa nieskończoności:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Zobacz: dziennik nieskończoności

Logarytm podstawy

Logarytm o podstawie b z b wynosi jeden:

logb(b) = 1

Na przykład logarytm o podstawie dwójki z dwójki to jeden:

log2(2) = 1

Pochodna logarytmu

Gdy

f (x) = logb(x)

Wtedy pochodna f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Zobacz: pochodna logarytmiczna

Całka logarytmiczna

Całka z logarytmu x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Na przykład:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Przybliżenie logarytmiczne

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Złożony logarytm

Dla liczby zespolonej z:

z = reiθ = x + iy

Zespolony logarytm będzie miał postać (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Problemy z logarytmami i odpowiedzi

Problem nr 1

Znajdź x dla

log2(x) + log2(x-3) = 2

Rozwiązanie:

Korzystając z reguły produktu:

log2(x∙(x-3)) = 2

Zmiana postaci logarytmu zgodnie z definicją logarytmu:

x∙(x-3) = 22

Lub

x2-3x-4 = 0

Rozwiązanie równania kwadratowego:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Ponieważ logarytm nie jest zdefiniowany dla liczb ujemnych, odpowiedź brzmi:

x = 4

Problem nr 2

Znajdź x dla

log3(x+2) - log3(x) = 2

Rozwiązanie:

Korzystając z reguły ilorazu:

log3((x+2) / x) = 2

Zmiana postaci logarytmu zgodnie z definicją logarytmu:

(x+2)/x = 32

Lub

x+2 = 9x

Lub

8x = 2

Lub

x = 0.25

Wykres logarytmu (x)

log(x) nie jest zdefiniowany dla rzeczywistych nie dodatnich wartości x:

Tabela logarytmów

X zaloguj 10x _ dziennik 2x _ dziennik np. x
0 nieokreślony nieokreślony nieokreślony
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2,584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3,321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3,688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Kalkulator logarytmów ►

 

Zobacz też

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°