e stała

Stała lub liczba Eulera jest stałą matematyczną.Stała e jest liczbą rzeczywistą i niewymierną.

e = 2,718281828459...

Definicja e
Właściwości e
Podstawa i logarytm
Funkcja wykładnicza
Formuła Eulera

Definicja e

Stała e jest zdefiniowana jako granica:

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...$

Alternatywne definicje

Stała e jest zdefiniowana jako granica:

$e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}$

Stała e jest zdefiniowana jako nieskończony szereg:

$e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{ 2!}+\frac{1}{3!}+...$

Właściwości e

Odwrotność e

Odwrotność e jest granicą:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=\frac{1}{e}$

pochodne e

Pochodną funkcji wykładniczej jest funkcja wykładnicza:

(e^x)' = e^x

Pochodną funkcji logarytmu naturalnego jest funkcja odwrotna:

(log_ex)' = (ln x)' = 1/x

Całki e

Całka nieoznaczona funkcji wykładniczej ex ^x jest funkcją wykładniczą ex ^x .

∫ e^xdx = e^x+c

Całka nieoznaczona funkcji logarytmu naturalnego log _e x wynosi:

∫ log_ex dx = ∫ lnx dx = x ln x - x +c

Całka oznaczona od 1 do e funkcji odwrotności 1/x wynosi 1:

$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\: dx=1$

Podstawa i logarytm

Logarytm naturalny liczby x jest zdefiniowany jako podstawa e logarytmu x:

ln x = log_ex

Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza jest zdefiniowana jako:

f (x) = exp(x) = e^x

Formuła Eulera

Liczba zespolona e ^iθ ma tożsamość:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

i jest jednostką urojoną (pierwiastek kwadratowy z -1).

θ jest dowolną liczbą rzeczywistą.