Peraturan Logaritma

Logaritma asas b bagi suatu nombor ialah eksponen yang kita perlukan untuk menaikkan asas untuk mendapatkan nombor itu.

• Definisi logaritma
• Peraturan logaritma
• Masalah logaritma
• logaritma kompleks
• Graf log(x)
• Jadual logaritma
• Kalkulator logaritma

Definisi logaritma

Apabila b dinaikkan kepada kuasa y adalah sama dengan x:

b ^y = x

Maka logaritma asas b bagi x adalah sama dengan y:

log_b(x) = y

Contohnya apabila:

2⁴ = 16

Kemudian

log₂(16) = 4

Logaritma sebagai fungsi songsang bagi fungsi eksponen

Fungsi logaritma,

y = log_b(x)

ialah fungsi songsang bagi fungsi eksponen,

x = b^y

Jadi jika kita mengira fungsi eksponen bagi logaritma x (x>0),

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

Atau jika kita mengira logaritma bagi fungsi eksponen bagi x,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

Logaritma asli (ln)

Logaritma asli ialah logaritma kepada asas e:

ln(x) = log_e(x)

Apabila e pemalar ialah nombor:

atau

 

Lihat: Logaritma semula jadi

Pengiraan logaritma songsang

Logaritma songsang (atau anti logaritma) dikira dengan menaikkan asas b kepada logaritma y:

x = log^-1(y) = b ^y

Fungsi logaritma

Fungsi logaritma mempunyai bentuk asas:

f (x) = log_b(x)

Peraturan logaritma

Nama peraturan	peraturan
Peraturan produk logaritma	log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Peraturan hasil bagi logaritma	log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Peraturan kuasa logaritma	log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Peraturan suis asas logaritma	log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Peraturan perubahan asas logaritma	log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Terbitan logaritma	f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Kamiran logaritma	∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logaritma nombor negatif	log b ( x ) tidak ditentukan apabila x ≤ 0
Logaritma 0	log b (0) tidak ditentukan
Logaritma 1	log b (1) = 0
Logaritma asas	log b ( b ) = 1
Logaritma infiniti	lim log b ( x ) = ∞, apabila x →∞

Lihat: Peraturan logaritma

 

Peraturan produk logaritma

Logaritma bagi pendaraban x dan y ialah hasil tambah logaritma bagi x dan logaritma bagi y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Sebagai contoh:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Peraturan hasil bagi logaritma

Logaritma pembahagian x dan y ialah beza logaritma x dan logaritma y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Sebagai contoh:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Peraturan kuasa logaritma

Logaritma x dinaikkan kepada kuasa y ialah y darab logaritma x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Sebagai contoh:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Peraturan suis asas logaritma

Logaritma asas b bagi c ialah 1 dibahagikan dengan logaritma asas c bagi b.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

Sebagai contoh:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

Peraturan perubahan asas logaritma

Logaritma asas b bagi x ialah logaritma asas c bagi x dibahagikan dengan logaritma asas c bagi b.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Sebagai contoh, untuk mengira log ₂ (8) dalam kalkulator, kita perlu menukar asas kepada 10:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

Lihat: peraturan perubahan asas log

Logaritma nombor negatif

Asas b logaritma nyata bagi x apabila x<=0 tidak ditentukan apabila x negatif atau sama dengan sifar:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

Lihat: log nombor negatif

Logaritma 0

Asas b logaritma sifar tidak ditentukan:

log_b(0) is undefined

Had asas b logaritma bagi x, apabila x menghampiri sifar, ialah tolak infiniti:

Lihat: log sifar

Logaritma 1

Asas b logaritma satu ialah sifar:

log_b(1) = 0

Sebagai contoh, logaritma asas dua bagi satu ialah sifar:

log₂(1) = 0

Lihat: log satu

Logaritma infiniti

Had asas b logaritma bagi x, apabila x menghampiri ketakterhinggaan, adalah sama dengan ketakterhinggaan:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

Lihat: log infiniti

Logaritma asas

Logaritma asas b bagi b ialah satu:

log_b(b) = 1

Sebagai contoh, logaritma asas dua bagi dua ialah satu:

log₂(2) = 1

Terbitan logaritma

Bila

f (x) = log_b(x)

Kemudian terbitan bagi f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Lihat: terbitan log

Kamiran logaritma

Kamiran logaritma bagi x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

Sebagai contoh:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

Penghampiran logaritma

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

logaritma kompleks

Untuk nombor kompleks z:

z = re^iθ = x + iy

Logaritma kompleks ialah (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Masalah dan jawapan logaritma

Masalah #1

Cari x untuk

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

Penyelesaian:

Menggunakan peraturan produk:

log₂(x∙(x-3)) = 2

Menukar bentuk logaritma mengikut definisi logaritma:

x∙(x-3) = 2²

Ataupun

x²-3x-4 = 0

Menyelesaikan persamaan kuadratik:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Oleh kerana logaritma tidak ditakrifkan untuk nombor negatif, jawapannya ialah:

x = 4

Masalah #2

Cari x untuk

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

Penyelesaian:

Menggunakan peraturan hasil bagi:

log₃((x+2) / x) = 2

Menukar bentuk logaritma mengikut definisi logaritma:

(x+2)/x = 3²

Ataupun

x+2 = 9x

Ataupun

8x = 2

Ataupun

x = 0.25

Graf log(x)

log(x) tidak ditakrifkan untuk nilai bukan positif sebenar bagi x:

Jadual logaritma

x	log 10 x	log 2 x	log e x
0	tidak ditentukan	tidak ditentukan	tidak ditentukan
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

Kalkulator logaritma ►

 

---

Lihat juga

• Peraturan logaritma
• Perubahan logaritma asas
• Logaritma sifar
• Logaritma satu
• Logaritma infiniti
• Logaritma nombor negatif
• Kalkulator logaritma
• Graf logaritma
• Jadual logaritma
• Kalkulator logaritma semula jadi
• Logaritma asli - ln x
• e malar
• Desibel (dB)