ലോഗരിതം നിയമങ്ങൾ

ഒരു സംഖ്യയുടെ ബേസ് ബി ലോഗരിതം എന്നത് സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് നമ്മൾഅടിസ്ഥാനം ഉയർത്തേണ്ട ഘാതം ആണ് .

• ലോഗരിതം നിർവചനം
• ലോഗരിതം നിയമങ്ങൾ
• ലോഗരിതം പ്രശ്നങ്ങൾ
• സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിതം
• ലോഗിന്റെ ഗ്രാഫ് (x)
• ലോഗരിതം പട്ടിക
• ലോഗരിതം കാൽക്കുലേറ്റർ

ലോഗരിതം നിർവചനം

y യുടെ ശക്തിയിലേക്ക് b ഉയർത്തുമ്പോൾ x തുല്യമാണ്:

b ^y = x

അപ്പോൾ x ന്റെ അടിസ്ഥാന b ലോഗരിതം y ന് തുല്യമാണ്:

log_b(x) = y

ഉദാഹരണത്തിന് എപ്പോൾ:

2⁴ = 16

പിന്നെ

log₂(16) = 4

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമായി ലോഗരിതം

ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷൻ,

y = log_b(x)

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ്,

x = b^y

x (x>0) ന്റെ ലോഗരിതത്തിന്റെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ,

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

അല്ലെങ്കിൽ x ന്റെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം (ln)

നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന e യിലേക്കുള്ള ഒരു ലോഗരിതം ആണ്:

ln(x) = log_e(x)

e സ്ഥിരാങ്കം സംഖ്യയാകുമ്പോൾ:

അഥവാ

 

കാണുക: സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

വിപരീത ലോഗരിതം കണക്കുകൂട്ടൽ

വിപരീത ലോഗരിതം (അല്ലെങ്കിൽ ആന്റി ലോഗരിതം) ബേസ് b യെ ലോഗരിതം y ലേക്ക് ഉയർത്തി കണക്കാക്കുന്നു:

x = log^-1(y) = b ^y

ലോഗരിഥമിക് പ്രവർത്തനം

ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷന് ഇനിപ്പറയുന്നതിന്റെ അടിസ്ഥാന രൂപമുണ്ട്:

f (x) = log_b(x)

ലോഗരിതം നിയമങ്ങൾ

നിയമത്തിന്റെ പേര്	ഭരണം
ലോഗരിതം ഉൽപ്പന്ന നിയമം	ലോഗ് ബി ( x ∙ വൈ ) = ലോഗ് ബി ( x ) + ലോഗ് ബി ( വൈ )
ലോഗരിതം ഘടക നിയമം	ലോഗ് ബി ( x / വൈ ) = ലോഗ് ബി ( എക്സ് ) - ലോഗ് ബി ( വൈ )
ലോഗരിതം പവർ റൂൾ	ലോഗ് b ( x y ) = y ∙ ലോഗ് ബി ( x )
ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന സ്വിച്ച് നിയമം	ലോഗ് ബി ( സി ) = 1 / ലോഗ് സി ( ബി )
ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന മാറ്റ നിയമം	ലോഗ് ബി ( x ) = ലോഗ് സി ( എക്സ് ) / ലോഗ് സി ( ബി )
ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്	f ( x ) = ലോഗ് ബി ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
ലോഗരിതം ഇന്റഗ്രൽ	∫ ലോഗ് b ( x ) dx = x ∙ (ലോഗ് b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം	x ≤ 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾലോഗ് b ( x ) നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല
0 ന്റെ ലോഗരിതം	ലോഗ് ബി (0) നിർവചിച്ചിട്ടില്ല
ലോഗരിതം 1	ലോഗ് ബി (1) = 0
അടിത്തറയുടെ ലോഗരിതം	ലോഗ് ബി ( ബി ) = 1
അനന്തതയുടെ ലോഗരിതം	ലിം ലോഗ് b ( x ) = ∞, x →∞ ആകുമ്പോൾ

കാണുക: ലോഗരിതം നിയമങ്ങൾ

 

ലോഗരിതം ഉൽപ്പന്ന നിയമം

x, y എന്നിവയുടെ ഗുണനത്തിന്റെ ലോഗരിതം x ന്റെയും y യുടെ ലോഗരിതത്തിന്റെയും ആകെത്തുകയാണ്.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

ഉദാഹരണത്തിന്:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

ലോഗരിതം ഘടക നിയമം

x, y എന്നിവയുടെ വിഭജനത്തിന്റെ ലോഗരിതം x ന്റെ ലോഗരിതം, y യുടെ ലോഗരിതം എന്നിവയുടെ വ്യത്യാസമാണ്.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

ഉദാഹരണത്തിന്:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

ലോഗരിതം പവർ റൂൾ

x ന്റെ ലോഗരിതം y യുടെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് x ന്റെ y മടങ്ങാണ്.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

ഉദാഹരണത്തിന്:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന സ്വിച്ച് നിയമം

c യുടെ അടിസ്ഥാന b ലോഗരിതം 1 ആണ് b യുടെ അടിസ്ഥാന c ലോഗരിതം കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നത്.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

ഉദാഹരണത്തിന്:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന മാറ്റ നിയമം

x ന്റെ അടിസ്ഥാന b ലോഗരിതം x ന്റെ അടിസ്ഥാന c ലോഗരിതം ആണ് b യുടെ അടിസ്ഥാന c ലോഗരിതം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

ഉദാഹരണത്തിന്, കാൽക്കുലേറ്ററിൽ ലോഗ് ₂ (8) കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം 10 ആയി മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

കാണുക: ലോഗ് അടിസ്ഥാന മാറ്റ നിയമം

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം

x നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ x<=0 നിർവചിക്കപ്പെടാത്തപ്പോൾ x ന്റെ അടിസ്ഥാന b യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

കാണുക: നെഗറ്റീവ് നമ്പറിന്റെ ലോഗ്

0 ന്റെ ലോഗരിതം

പൂജ്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന b ലോഗരിതം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല:

log_b(0) is undefined

x ന്റെ ബേസ് ബി ലോഗരിതം പരിധി, x പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുമ്പോൾ, മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി ആണ്:

കാണുക: പൂജ്യത്തിന്റെ ലോഗ്

ലോഗരിതം 1

ഒന്നിന്റെ അടിസ്ഥാന b ലോഗരിതം പൂജ്യമാണ്:

log_b(1) = 0

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒന്നിന്റെ അടിസ്ഥാന രണ്ട് ലോഗരിതം പൂജ്യമാണ്:

log₂(1) = 0

കാണുക: ഒന്നിന്റെ ലോഗ്

അനന്തതയുടെ ലോഗരിതം

x ന്റെ അടിസ്ഥാന b ലോഗരിതം പരിധി, x അനന്തതയെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, അനന്തതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

കാണുക: അനന്തതയുടെ ലോഗ്

അടിത്തറയുടെ ലോഗരിതം

b യുടെ അടിസ്ഥാന b ലോഗരിതം ഒന്നാണ്:

log_b(b) = 1

ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ടിന്റെ അടിസ്ഥാന രണ്ട് ലോഗരിതം ഒന്നാണ്:

log₂(2) = 1

ലോഗരിതം ഡെറിവേറ്റീവ്

എപ്പോൾ

f (x) = log_b(x)

അപ്പോൾ f(x)ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

കാണുക: ലോഗ് ഡെറിവേറ്റീവ്

ലോഗരിതം ഇന്റഗ്രൽ

x ന്റെ ലോഗരിതം ഇന്റഗ്രൽ:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

ഉദാഹരണത്തിന്:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

ലോഗരിതം ഏകദേശം

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിതം

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ z-ന്:

z = re^iθ = x + iy

സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിതം ഇതായിരിക്കും (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

ലോഗരിതം പ്രശ്നങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും

പ്രശ്നം #1

ഇതിനായി x കണ്ടെത്തുക

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

പരിഹാരം:

ഉൽപ്പന്ന നിയമം ഉപയോഗിച്ച്:

log₂(x∙(x-3)) = 2

ലോഗരിതം നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം ഫോം മാറ്റുന്നു:

x∙(x-3) = 2²

അഥവാ

x²-3x-4 = 0

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കായി ലോഗരിതം നിർവചിച്ചിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ, ഉത്തരം ഇതാണ്:

x = 4

പ്രശ്നം #2

ഇതിനായി x കണ്ടെത്തുക

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

പരിഹാരം:

ഘടക നിയമം ഉപയോഗിച്ച്:

log₃((x+2) / x) = 2

ലോഗരിതം നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം ഫോം മാറ്റുന്നു:

(x+2)/x = 3²

അഥവാ

x+2 = 9x

അഥവാ

8x = 2

അഥവാ

x = 0.25

ലോഗിന്റെ ഗ്രാഫ് (x)

x ന്റെ യഥാർത്ഥ പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങൾക്കായി log(x) നിർവചിച്ചിട്ടില്ല:

ലോഗരിതം പട്ടിക

x	ലോഗ് 10 x	ലോഗ് 2 x	ലോഗ് ഇ x
0	നിർവചിക്കാത്തത്	നിർവചിക്കാത്തത്	നിർവചിക്കാത്തത്
0+ _	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

ലോഗരിതം കാൽക്കുലേറ്റർ ►

 

---

ഇതും കാണുക

• ലോഗരിതം നിയമങ്ങൾ
• അടിത്തറയുടെ ലോഗരിതം മാറ്റം
• പൂജ്യത്തിന്റെ ലോഗരിതം
• ഒന്നിന്റെ ലോഗരിതം
• അനന്തതയുടെ ലോഗരിതം
• നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം
• ലോഗരിതം കാൽക്കുലേറ്റർ
• ലോഗരിതം ഗ്രാഫ്
• ലോഗരിതം പട്ടിക
• സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം കാൽക്കുലേറ്റർ
• സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം - ln x
• ഇ സ്ഥിരമായ
• ഡെസിബെൽ (dB)