Logaritma noteikumi

Skaitļa bāzes logaritms bir eksponents , kas mums jāpaaugstina , lai iegūtu skaitli.

Logaritma definīcija

Kad b tiek palielināts līdz y pakāpei, ir vienāds ar x:

b y = x

Tad x bāzes b logaritms ir vienāds ar y:

logb(x) = y

Piemēram, kad:

24 = 16

Tad

log2(16) = 4

Logaritms kā eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija

logaritmiskā funkcija,

y = logb(x)

ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija,

x = by

Tātad, ja mēs aprēķinām x (x>0) logaritma eksponenciālo funkciju,

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Vai arī, ja mēs aprēķinām x eksponenciālās funkcijas logaritmu,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Dabiskais logaritms (ln)

Dabiskais logaritms ir logaritms no bāzes e:

ln(x) = loge(x)

Kad e konstante ir skaitlis:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

vai

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Skatīt: Dabiskais logaritms

Apgrieztā logaritma aprēķins

Apgriezto logaritmu (vai antilogaritmu) aprēķina, paaugstinot bāzi b līdz logaritmam y:

x = log-1(y) = b y

Logaritmiskā funkcija

Logaritmiskās funkcijas pamatforma ir šāda:

f (x) = logb(x)

Logaritma noteikumi

Noteikuma nosaukums Noteikums
Logaritma reizinājuma noteikums
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritma koeficienta noteikums
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritma jaudas likums
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritma bāzes slēdža noteikums
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritma bāzes maiņas noteikums
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Logaritma atvasinājums
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Logaritma integrālis
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Negatīvā skaitļa logaritms
 log b ( x ) nav definēts, ja x ≤ 0
Logaritms no 0
 log b (0) nav definēts
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritms 1
 log b (1) = 0
Bāzes logaritms
 log b ( b ) = 1
Bezgalības logaritms
 lim log b ( x ) = ∞, kad x →∞

Skatīt: Logaritma noteikumi

 

Logaritma reizinājuma noteikums

X un y reizināšanas logaritms ir x logaritma un y logaritma summa.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Piemēram:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logaritma koeficienta noteikums

X un y dalījuma logaritms ir x logaritma un y logaritma atšķirība.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Piemēram:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logaritma jaudas likums

X logaritms, kas palielināts līdz y pakāpei, ir y reizināts ar x logaritmu.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Piemēram:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritma bāzes slēdža noteikums

C bāzes logaritms ir 1 dalīts ar b bāzes c logaritmu.

logb(c) = 1 / logc(b)

Piemēram:

log2(8) = 1 / log8(2)

Logaritma bāzes maiņas noteikums

x bāzes b logaritms ir x bāzes c logaritms dalīts ar b bāzes c logaritmu.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Piemēram, lai kalkulatorā aprēķinātu žurnālu 2 (8), mums jāmaina bāze uz 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Skatiet: žurnāla bāzes maiņas noteikums

Negatīvā skaitļa logaritms

Bāzes b reālais logaritms x, kad x<=0, nav definēts, ja x ir negatīvs vai vienāds ar nulli:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Skatīt: negatīvā skaitļa žurnāls

Logaritms no 0

Nulles bāzes b logaritms nav definēts:

logb(0) is undefined

x bāzes logaritma b robeža, kad x tuvojas nullei, ir mīnus bezgalība:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Skatīt: nulles žurnāls

Logaritms 1

Bāzes logaritms vienam ir nulle:

logb(1) = 0

Piemēram, divu bāzu logaritms vienam ir nulle:

log2(1) = 0

Skatīt: viena žurnāls

Bezgalības logaritms

X bāzes logaritma b robeža, kad x tuvojas bezgalībai, ir vienāda ar bezgalību:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Skatīt: bezgalības žurnāls

Bāzes logaritms

B bāzes logaritms b ir viens:

logb(b) = 1

Piemēram, divu pamata logaritms no diviem ir viens:

log2(2) = 1

Logaritma atvasinājums

Kad

f (x) = logb(x)

Tad f(x) atvasinājums:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Skatīt: log atvasinājums

Logaritma integrālis

X logaritma integrālis:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Piemēram:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritma aproksimācija

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Sarežģīts logaritms

Kompleksajam skaitlim z:

z = reiθ = x + iy

Kompleksais logaritms būs (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritma uzdevumi un atbildes

Problēma #1

Atrast x

log2(x) + log2(x-3) = 2

Risinājums:

Izmantojot produkta noteikumu:

log2(x∙(x-3)) = 2

Logaritma formas maiņa atbilstoši logaritma definīcijai:

x∙(x-3) = 22

Or

x2-3x-4 = 0

Kvadrātvienādojuma atrisināšana:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Tā kā negatīviem skaitļiem logaritms nav definēts, atbilde ir:

x = 4

Problēma #2

Atrast x

log3(x+2) - log3(x) = 2

Risinājums:

Izmantojot koeficienta noteikumu:

log3((x+2) / x) = 2

Logaritma formas maiņa atbilstoši logaritma definīcijai:

(x+2)/x = 32

Or

x+2 = 9x

Or

8x = 2

Or

x = 0.25

Log(x) diagramma

log(x) nav definēts reālām nepozitīvām x vērtībām:

Logaritmu tabula

x žurnāls 10 x baļķis 2 x log e x
0 nenoteikts nenoteikts nenoteikts
0+ _ - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0.1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1,386294
5 0,698970 2.321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2,079442
9 0,954243 3,169925 2.197225
10 1 3,321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2,995732
30 1.477121 4.906891 3,401197
40 1.602060 5.321928 3,688879
50 1,698970 5,643856 3,912023
60 1.778151 5,906991 4,094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1,954243 6.491853 4.499810
100 2 6,643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5,298317
300 2,477121 8.228819 5,703782
400 2.602060 8.643856 5,991465
500 2,698970 8.965784 6.214608
600 2,778151 9.228819 6,396930
700 2,845098 9.451211 6,551080
800 2.903090 9.643856 6,684612
900 2,954243 9.813781 6.802395
1000 3 9,965784 6,907755
10 000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritma kalkulators ►

 

Skatīt arī

Advertising

ALĢEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°