Dabiskais logaritms — ln(x)

Dabiskais logaritms ir logaritms pret skaitļa bāzi e.

• Naturālā logaritma (ln) definīcija
• Dabiskā logaritma (ln) noteikumi un īpašības
  • Naturālā logaritma (ln) atvasinājums
  • naturālā logaritma integrālis (ln)
• Sarežģīts logaritms
• ln(x) diagramma
• Naturālo logaritmu (ln) tabula
• Dabiskā logaritma kalkulators

Naturālā logaritma definīcija

Kad

e ^y = x

Tad x bāzes e logaritms ir

ln(x) = log_e(x) = y

 

E konstante jeb Eilera skaitlis ir:

e ≈ 2,71828183

Ln kā eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija

Naturālā logaritma funkcija ln(x) ir eksponenciālās funkcijas e ^x apgrieztā funkcija .

Ja x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Or

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Dabisko logaritmu likumi un īpašības

Noteikuma nosaukums	Noteikums	Piemērs
Produkta noteikums	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Koeficientu noteikums	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Jaudas noteikums	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
ln atvasinājums	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Integrāli	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
ln no negatīva skaitļa	ln( x ) nav definēts, ja x ≤ 0
ln no nulles	ln(0) nav definēts
No viena	ln(1) = 0
Bezgalībā	lim ln( x ) = ∞ , kad x →∞
Eilera identitāte	ln(-1) = iπ

 

Logaritma reizinājuma noteikums

X un y reizināšanas logaritms ir x logaritma un y logaritma summa.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Piemēram:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logaritma koeficienta noteikums

X un y dalījuma logaritms ir starpība starp x un y logaritmu.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Piemēram:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Logaritma jaudas likums

X logaritms, kas palielināts līdz y pakāpei, ir y reizināts ar x logaritmu.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Piemēram:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Dabiskā logaritma atvasinājums

Dabiskā logaritma funkcijas atvasinājums ir reciprok funkcija.

Kad

f (x) = ln(x)

F(x) atvasinājums ir:

f ' (x) = 1 / x

Naturālā logaritma integrālis

Dabiskā logaritma funkcijas integrālis tiek iegūts ar:

Kad

f (x) = ln(x)

F(x) integrālis ir:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln no 0

Nulles naturālais logaritms nav definēts:

ln(0) is undefined

X dabiskā logaritma robežvērtība tuvu 0, kad x tuvojas nullei, ir mīnus bezgalība:

Ln no 1

Viena naturālais logaritms ir nulle:

ln(1) = 0

Ln bezgalības

Bezgalības dabiskā logaritma robeža, kad x tuvojas bezgalībai, ir vienāda ar bezgalību:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Sarežģīts logaritms

Kompleksajam skaitlim z:

z = re^iθ = x + iy

Kompleksais logaritms būs (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

ln(x) diagramma

ln(x) nav definēts reālām nepozitīvām x vērtībām:

Dabisko logaritmu tabula

x	ln x
0	nenoteikts
0+ _	- ∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0.1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6.214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6.802395
1000	6,907755
10 000	9.210340

 

Logaritma noteikumi ►

 

---

Skatīt arī

• Logaritms (log)
• Dabiskā logaritma kalkulators
• Nulles naturālais logaritms
• Viena naturālais logaritms
• E naturālais logaritms
• Bezgalības dabiskais logaritms
• Negatīvā skaitļa naturālais logaritms
• Ln apgrieztā funkcija
• ln(x) grafiks
• Dabisko logaritmu tabula
• Logaritma kalkulators
• e konstante