Logaritmo taisyklės

Skaičiaus bazinis logaritmas byra eksponentas , kurį turime pakelti bazę , kad gautume skaičių.

Logaritmo apibrėžimas

Kai b pakeliamas iki y laipsnio, yra lygus x:

b y = x

Tada x bazinis b logaritmas yra lygus y:

logb(x) = y

Pavyzdžiui, kai:

24 = 16

Tada

log2(16) = 4

Logaritmas kaip atvirkštinė eksponentinės funkcijos funkcija

logaritminė funkcija,

y = logb(x)

yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos funkcija,

x = by

Taigi, jei apskaičiuosime x (x>0) logaritmo eksponentinę funkciją,

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Arba jei apskaičiuosime x eksponentinės funkcijos logaritmą,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Natūralusis logaritmas (ln)

Natūralusis logaritmas yra logaritmas iki pagrindo e:

ln(x) = loge(x)

Kai e konstanta yra skaičius:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2,718281828459...

arba

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Žr.: Natūralusis logaritmas

Atvirkštinio logaritmo skaičiavimas

Atvirkštinis logaritmas (arba antilogaritmas) apskaičiuojamas pakeliant bazę b iki logaritmo y:

x = log-1(y) = b y

Logaritminė funkcija

Logaritminė funkcija turi pagrindinę formą:

f (x) = logb(x)

Logaritmo taisyklės

Taisyklės pavadinimas Taisyklė
Logaritmo sandaugos taisyklė
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logaritmo koeficiento taisyklė
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmo galios taisyklė
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritmo bazinio jungiklio taisyklė
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritmo bazės keitimo taisyklė
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Logaritmo išvestinė
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
Logaritmo integralas
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Neigiamojo skaičiaus logaritmas
 log b ( x ) yra neapibrėžtas, kai x ≤ 0
0 logaritmas
 log b (0) neapibrėžtas
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritmas iš 1
 log b (1) = 0
Pagrindo logaritmas
 log b ( b ) = 1
Begalybės logaritmas
 lim log b ( x ) = ∞, kai x →∞

Žr.: Logaritmo taisyklės

 

Logaritmo sandaugos taisyklė

X ir y daugybos logaritmas yra x ir y logaritmo suma.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Pavyzdžiui:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logaritmo koeficiento taisyklė

X ir y padalijimo logaritmas yra x ir y logaritmo skirtumas.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Pavyzdžiui:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logaritmo galios taisyklė

x logaritmas, padidintas iki y laipsnio, yra y padaugintas iš x logaritmo.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Pavyzdžiui:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritmo bazinio jungiklio taisyklė

C bazinis logaritmas b yra padalintas iš b bazinio c logaritmo.

logb(c) = 1 / logc(b)

Pavyzdžiui:

log2(8) = 1 / log8(2)

Logaritmo bazės keitimo taisyklė

x bazinis logaritmas b yra x bazinis c logaritmas, padalytas iš b bazinio c logaritmo.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Pavyzdžiui, norėdami apskaičiuoti žurnalą 2 (8) skaičiuoklėje, turime pakeisti bazę į 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Žr.: žurnalo bazės keitimo taisyklė

Neigiamojo skaičiaus logaritmas

Bazinis b tikrasis x logaritmas, kai x<=0, yra neapibrėžtas, kai x yra neigiamas arba lygus nuliui:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Žr.: neigiamo skaičiaus žurnalas

0 logaritmas

Nulio bazinis logaritmas b neapibrėžtas:

logb(0) is undefined

x bazinio logaritmo b riba, kai x artėja prie nulio, yra atėmus begalybę:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Žr.: nulio žurnalas

Logaritmas iš 1

Vieneto bazinis logaritmas b lygus nuliui:

logb(1) = 0

Pavyzdžiui, dviejų bazinių vieneto logaritmas yra lygus nuliui:

log2(1) = 0

Žiūrėti: vieno žurnalas

Begalybės logaritmas

x bazinio logaritmo b riba, kai x artėja prie begalybės, yra lygi begalybei:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Žiūrėti: begalybės žurnalas

Pagrindo logaritmas

B bazinis b logaritmas yra vienas:

logb(b) = 1

Pavyzdžiui, bazinis dviejų logaritmas iš dviejų yra vienas:

log2(2) = 1

Logaritmo išvestinė

Kada

f (x) = logb(x)

Tada f(x) išvestinė:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Žr.: log išvestinė

Logaritmo integralas

x logaritmo integralas:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Pavyzdžiui:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritmo aproksimacija

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Kompleksinis logaritmas

Kompleksiniam skaičiui z:

z = reiθ = x + iy

Kompleksinis logaritmas bus (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logaritmo uždaviniai ir atsakymai

1 problema

Rasti x

log2(x) + log2(x-3) = 2

Sprendimas:

Naudojant gaminio taisyklę:

log2(x∙(x-3)) = 2

Logaritmo formos keitimas pagal logaritmo apibrėžimą:

x∙(x-3) = 22

Arba

x2-3x-4 = 0

Kvadratinės lygties sprendimas:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Kadangi neigiamų skaičių logaritmas neapibrėžtas, atsakymas yra toks:

x = 4

2 problema

Rasti x

log3(x+2) - log3(x) = 2

Sprendimas:

Naudojant koeficiento taisyklę:

log3((x+2) / x) = 2

Logaritmo formos keitimas pagal logaritmo apibrėžimą:

(x+2)/x = 32

Arba

x+2 = 9x

Arba

8x = 2

Arba

x = 0.25

Log(x) grafikas

log(x) neapibrėžtas tikrosioms ne teigiamoms x reikšmėms:

Logaritmų lentelė

x žurnalas 10 x rąstas 2 x log e x
0 neapibrėžtas neapibrėžtas neapibrėžtas
0+ _ - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6.907755
0,01 -2 -6,643856 -4,605170
0.1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2,995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3,688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5,991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2,954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10 000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritmo skaičiuotuvas ►

 

Taip pat žr

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°