Aturan Logaritma

Basis logaritma b dari suatu bilangan adalah eksponen yang perlu kita naikkan bilangan pokoknya untuk mendapatkan bilangan tersebut.

definisi logaritma

Ketika b dipangkatkan y sama dengan x:

b y = x

Maka basis logaritma b dari x sama dengan y:

logb(x) = y

Misalnya ketika:

24 = 16

Kemudian

log2(16) = 4

Logaritma sebagai fungsi invers dari fungsi eksponensial

Fungsi logaritma,

y = logb(x)

adalah fungsi kebalikan dari fungsi eksponensial,

x = by

Jadi jika kita menghitung fungsi eksponensial dari logaritma x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Atau jika kita menghitung logaritma dari fungsi eksponensial dari x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Logaritma natural (ln)

Logaritma natural adalah logaritma ke basis e:

ln(x) = loge(x)

Ketika e konstanta adalah angka:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...

atau

e=\lim_{x\panah kanan 0 }\kiri ( 1+ \kanan x)^\frac{1}{x}

 

Lihat: Logaritma natural

Perhitungan logaritma terbalik

Logaritma terbalik (atau anti logaritma) dihitung dengan menaikkan basis b ke logaritma y:

x = log-1(y) = b y

fungsi logaritmik

Fungsi logaritmik memiliki bentuk dasar:

f (x) = logb(x)

aturan logaritma

Nama aturan Aturan
aturan perkalian logaritma
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
aturan hasil bagi logaritma
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
aturan pangkat logaritma
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Aturan sakelar basis logaritma
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Aturan perubahan basis logaritma
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Turunan dari logaritma
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Integral dari logaritma
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logaritma bilangan negatif
 log b ( x ) tidak terdefinisi ketika x ≤ 0
Logaritma dari 0
 log b (0) tidak terdefinisi
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritma dari 1
 log b (1) = 0
Logaritma basis
 log b ( b ) = 1
Logaritma tak terhingga
 log lim b ( x ) = ∞, ketika x →∞

Lihat: Aturan logaritma

 

aturan perkalian logaritma

Logaritma perkalian x dan y adalah jumlah logaritma x dan logaritma y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Sebagai contoh:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

aturan hasil bagi logaritma

Logaritma pembagian x dan y adalah selisih logaritma x dan logaritma y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Sebagai contoh:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

aturan pangkat logaritma

Logaritma x yang dipangkatkan y adalah y kali logaritma x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Sebagai contoh:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Aturan sakelar basis logaritma

Basis logaritma b dari c adalah 1 dibagi dengan basis logaritma c dari b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Sebagai contoh:

log2(8) = 1 / log8(2)

Aturan perubahan basis logaritma

Logaritma basis b dari x adalah logaritma basis c dari x dibagi dengan logaritma basis c dari b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Misalnya, untuk menghitung log 2 (8) di kalkulator, kita perlu mengubah basisnya menjadi 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Lihat: aturan perubahan basis log

Logaritma bilangan negatif

Basis b logaritma nyata dari x ketika x<=0 tidak terdefinisi ketika x negatif atau sama dengan nol:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Lihat: log bilangan negatif

Logaritma dari 0

Basis logaritma b dari nol tidak terdefinisi:

logb(0) is undefined

Limit logaritma basis b dari x, ketika x mendekati nol, adalah minus tak terhingga:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Lihat: log nol

Logaritma dari 1

Basis logaritma b dari satu adalah nol:

logb(1) = 0

Misalnya, basis dua logaritma dari satu adalah nol:

log2(1) = 0

Lihat: log satu

Logaritma tak terhingga

Batas basis logaritma b dari x, ketika x mendekati tak terhingga, sama dengan tak terhingga:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Lihat: log tak terhingga

Logaritma basis

Basis logaritma b dari b adalah satu:

logb(b) = 1

Misalnya, basis dua logaritma dari dua adalah satu:

log2(2) = 1

Turunan logaritma

Kapan

f (x) = logb(x)

Maka turunan dari f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Lihat: turunan log

integral logaritma

Integral logaritma dari x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Sebagai contoh:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

pendekatan logaritma

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Logaritma kompleks

Untuk bilangan kompleks z:

z = reiθ = x + iy

Logaritma kompleksnya adalah (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Soal logaritma dan jawabannya

Masalah #1

Cari x untuk

log2(x) + log2(x-3) = 2

Larutan:

Menggunakan aturan produk:

log2(x∙(x-3)) = 2

Mengubah bentuk logaritma menurut definisi logaritma:

x∙(x-3) = 22

Atau

x2-3x-4 = 0

Memecahkan persamaan kuadrat:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Karena logaritma tidak ditentukan untuk bilangan negatif, jawabannya adalah:

x = 4

Masalah #2

Cari x untuk

log3(x+2) - log3(x) = 2

Larutan:

Menggunakan aturan pembagian:

log3((x+2) / x) = 2

Mengubah bentuk logaritma menurut definisi logaritma:

(x+2)/x = 32

Atau

x+2 = 9x

Atau

8x = 2

Atau

x = 0.25

Grafik log(x)

log(x) tidak didefinisikan untuk nilai nyata non positif dari x:

tabel logaritma

x log 10x _ log 2x _ log e x
0 belum diartikan belum diartikan belum diartikan
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9.965784 -6.907755
0,01 -2 -6.643856 -4,605170
0,1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1,791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1,477121 4.906891 3.401197
40 1,602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1,954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10.000 4 13.287712 9.210340

 

Kalkulator logaritma ►

 

Lihat juga

Advertising

ALJABAR
°• CmtoInchesConvert.com •°