લઘુગણક નિયમો

સંખ્યાનો આધાર b લઘુગણક એ ઘાતાંક છે જે સંખ્યા મેળવવા માટે આપણે આધાર વધારવાની જરૂર છે .

• લઘુગણક વ્યાખ્યા
• લોગરીધમ નિયમો
• લોગરીધમ સમસ્યાઓ
• જટિલ લઘુગણક
• લોગનો ગ્રાફ(x)
• લોગરીધમ ટેબલ
• લોગરીધમ કેલ્ક્યુલેટર

લઘુગણક વ્યાખ્યા

જ્યારે b ને y ની ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે ત્યારે x બરાબર થાય છે:

b ^y = x

પછી x નો આધાર b લઘુગણક y બરાબર છે:

log_b(x) = y

ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે:

2⁴ = 16

પછી

log₂(16) = 4

ઘાતાંકીય કાર્યના વ્યસ્ત કાર્ય તરીકે લઘુગણક

લઘુગણક કાર્ય,

y = log_b(x)

ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યસ્ત કાર્ય છે,

x = b^y

તેથી જો આપણે x (x>0) ના લઘુગણકના ઘાતાંકીય કાર્યની ગણતરી કરીએ,

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

અથવા જો આપણે x ના ઘાતાંકીય કાર્યના લઘુગણકની ગણતરી કરીએ,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

કુદરતી લઘુગણક (ln)

પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ આધાર e માટે લઘુગણક છે:

ln(x) = log_e(x)

જ્યારે e અચળ સંખ્યા છે:

અથવા

 

જુઓ: કુદરતી લઘુગણક

વ્યસ્ત લઘુગણક ગણતરી

વ્યસ્ત લઘુગણક (અથવા એન્ટિ લોગરીધમ) ની ગણતરી બેઝ b ને લઘુગણક y સુધી વધારીને કરવામાં આવે છે:

x = log^-1(y) = b ^y

લઘુગણક કાર્ય

લઘુગણક કાર્યનું મૂળ સ્વરૂપ છે:

f (x) = log_b(x)

લોગરીધમ નિયમો

નિયમનું નામ	નિયમ
લોગરીધમ ઉત્પાદન નિયમ	લોગ બી ( x ∙ y ) = લોગ બી ( x ) + લોગ બી ( y )
લઘુગણક ગુણાંકનો નિયમ	લોગ બી ( x / y ) = લોગ બી ( x ) - લોગ બી ( y )
લોગરીધમ પાવર નિયમ	log b ( x y ) = y ∙ લોગ b ( x )
લોગરીધમ આધાર સ્વીચ નિયમ	લોગ બી ( સી ) = 1 / લોગ સી ( બી )
લોગરીધમ આધાર ફેરફાર નિયમ	લોગ બી ( x ) = લોગ સી ( x ) / લોગ સી ( બી )
લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન	f ( x ) = લોગ b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
લઘુગણકનું સંકલન	∫ લોગ b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
ઋણ સંખ્યાનો લઘુગણક	log b ( x ) અવ્યાખ્યાયિત છે જ્યારે x ≤ 0
0 નો લઘુગણક	log b (0) અવ્યાખ્યાયિત છે
1 નો લઘુગણક	લોગ બી (1) = 0
આધારનો લઘુગણક	લોગ b ( b ) = 1
અનંતનો લઘુગણક	લિમ લોગ b ( x ) = ∞, જ્યારે x →∞

જુઓ: લોગરીધમ નિયમો

 

લોગરીધમ ઉત્પાદન નિયમ

x અને y ના ગુણાકારનો લઘુગણક એ x ના લઘુગણક અને y ના લઘુગણકનો સરવાળો છે.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

દાખ્લા તરીકે:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

લઘુગણક ગુણાંકનો નિયમ

x અને y ના ભાગાકારનો લઘુગણક એ x ના લઘુગણક અને y ના લઘુગણકનો તફાવત છે.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

દાખ્લા તરીકે:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

લોગરીધમ પાવર નિયમ

x નું લઘુગણક y ની ઘાત સુધી વધારીને x ના લઘુગણક y ગણું છે.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

દાખ્લા તરીકે:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

લોગરીધમ આધાર સ્વીચ નિયમ

c નો આધાર b લઘુગણક 1 ને b ના આધાર c લઘુગણક વડે ભાગ્યા છે.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

દાખ્લા તરીકે:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

લોગરીધમ આધાર ફેરફાર નિયમ

xનો આધાર b લઘુગણક એ xનો આધાર c લઘુગણક ભાગાકાર b ના આધાર c લઘુગણક છે.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

ઉદાહરણ તરીકે, કેલ્ક્યુલેટરમાં લોગ ₂ (8) ની ગણતરી કરવા માટે, આપણે આધારને 10 માં બદલવાની જરૂર છે:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

જુઓ: લોગ બેઝ ચેન્જ નિયમ

ઋણ સંખ્યાનો લઘુગણક

જ્યારે x નકારાત્મક અથવા શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે x<=0 અવ્યાખ્યાયિત હોય ત્યારે x નો આધાર b વાસ્તવિક લઘુગણક:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

જુઓ: નકારાત્મક સંખ્યાનો લોગ

0 નો લઘુગણક

શૂન્યનો આધાર b લઘુગણક અવ્યાખ્યાયિત છે:

log_b(0) is undefined

x ના બેઝ b લઘુગણકની મર્યાદા, જ્યારે x શૂન્યની નજીક પહોંચે છે, ત્યારે અનંતતા બાદ થાય છે:

જુઓ: શૂન્યનો લોગ

1 નો લઘુગણક

એકનો આધાર b લઘુગણક શૂન્ય છે:

log_b(1) = 0

ઉદાહરણ તરીકે, તેહ આધાર બે લઘુગણક એક શૂન્ય છે:

log₂(1) = 0

જુઓ: એકનો લોગ

અનંતનો લઘુગણક

x ના બેઝ b લઘુગણકની મર્યાદા, જ્યારે x અનંતની નજીક પહોંચે છે, તે અનંતની બરાબર છે:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

જુઓ: અનંતનો લોગ

આધારનો લઘુગણક

b નો આધાર b લઘુગણક એક છે:

log_b(b) = 1

ઉદાહરણ તરીકે, બેનો બેઝ બે લઘુગણક એક છે:

log₂(2) = 1

લોગરીધમ વ્યુત્પન્ન

ક્યારે

f (x) = log_b(x)

પછી f(x) નું વ્યુત્પન્ન:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

જુઓ: લોગ ડેરિવેટિવ

લોગરીધમ અભિન્ન

x ના લઘુગણકનું સંકલન:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

દાખ્લા તરીકે:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

લઘુગણક અંદાજ

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

જટિલ લઘુગણક

જટિલ સંખ્યા z માટે:

z = re^iθ = x + iy

જટિલ લઘુગણક હશે (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

લોગરીધમ સમસ્યાઓ અને જવાબો

સમસ્યા નંબર 1

માટે x શોધો

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

ઉકેલ:

ઉત્પાદન નિયમનો ઉપયોગ કરીને:

log₂(x∙(x-3)) = 2

લોગરીધમ વ્યાખ્યા અનુસાર લોગરીધમ ફોર્મ બદલવું:

x∙(x-3) = 2²

અથવા

x²-3x-4 = 0

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

કારણ કે લઘુગણક નકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત નથી, જવાબ છે:

x = 4

સમસ્યા #2

માટે x શોધો

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

ઉકેલ:

ભાગલાકાર નિયમનો ઉપયોગ કરીને:

log₃((x+2) / x) = 2

લોગરીધમ વ્યાખ્યા અનુસાર લોગરીધમ ફોર્મ બદલવું:

(x+2)/x = 3²

અથવા

x+2 = 9x

અથવા

8x = 2

અથવા

x = 0.25

લોગનો ગ્રાફ(x)

log(x) એ x ના વાસ્તવિક બિન-ધનાત્મક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત નથી:

લોગરીધમ ટેબલ

x	લોગ 10 x	લોગ 2 x	લોગ e x
0	અવ્યાખ્યાયિત	અવ્યાખ્યાયિત	અવ્યાખ્યાયિત
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

લોગરીધમ કેલ્ક્યુલેટર ►

 

---

આ પણ જુઓ

• લોગરીધમ નિયમો
• આધારનો લઘુગણક ફેરફાર
• શૂન્યનો લઘુગણક
• એકનો લઘુગણક
• અનંતનો લઘુગણક
• ઋણ સંખ્યાનો લઘુગણક
• લોગરીધમ કેલ્ક્યુલેટર
• લઘુગણક ગ્રાફ
• લોગરીધમ ટેબલ
• કુદરતી લઘુગણક કેલ્ક્યુલેટર
• કુદરતી લઘુગણક - ln x
• e સતત
• ડેસિબલ (dB)