El logaritme natural és el logaritme de la base e d'un nombre.
Quan
e y = x
Aleshores la base e logaritme de x és
ln(x) = loge(x) = y
La constant e o nombre d'Euler és:
e ≈ 2,71828183
La funció de logaritme natural ln(x) és la funció inversa de la funció exponencial e x .
Per a x>0,
f (f -1(x)) = eln(x) = x
O
f -1(f (x)) = ln(ex) = x
Nom de la regla | Regla | Exemple |
---|---|---|
Regla del producte |
ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) |
ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7) |
Regla del quocient |
ln(x / y) = ln(x) - ln(y) |
ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7) |
Regla del poder |
ln(x y) = y ∙ ln(x) |
ln(28) = 8∙ ln(2) |
En derivada |
f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x | |
En integral |
∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C | |
ln de nombre negatiu |
ln( x ) no està definit quan x ≤ 0 | |
ln de zero |
ln(0) no està definit | |
ln d'un |
ln(1) = 0 | |
ln de l'infinit |
lim ln( x ) = ∞ , quan x →∞ | |
La identitat d'Euler | ln(-1) = iπ |
El logaritme de la multiplicació de x i y és la suma del logaritme de x i el logaritme de y.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Per exemple:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
El logaritme de la divisió de x i y és la diferència del logaritme de x i el logaritme de y.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Per exemple:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
El logaritme de x elevat a la potència de y és y vegades el logaritme de x.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Per exemple:
log10(28) = 8∙ log10(2)
La derivada de la funció de logaritme natural és la funció recíproca.
Quan
f (x) = ln(x)
La derivada de f(x) és:
f ' (x) = 1 / x
La integral de la funció de logaritme natural ve donada per:
Quan
f (x) = ln(x)
La integral de f(x) és:
∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C
El logaritme natural de zero no està definit:
ln(0) is undefined
El límit proper a 0 del logaritme natural de x, quan x s'acosta a zero, és menys infinit:
El logaritme natural d'un és zero:
ln(1) = 0
El límit del logaritme natural de l'infinit, quan x s'acosta a l'infinit és igual a l'infinit:
lim ln(x) = ∞, when x→∞
Per al nombre complex z:
z = reiθ = x + iy
El logaritme complex serà (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
ln(x) no està definit per a valors reals no positius de x:
x | ln x |
---|---|
0 | indefinit |
0 + | - ∞ |
0,0001 | -9.210340 |
0,001 | -6,907755 |
0,01 | -4,605170 |
0.1 | -2,302585 |
1 | 0 |
2 | 0,693147 |
e ≈ 2,7183 | 1 |
3 | 1,098612 |
4 | 1,386294 |
5 | 1,609438 |
6 | 1,791759 |
7 | 1,945910 |
8 | 2,079442 |
9 | 2.197225 |
10 | 2.302585 |
20 | 2,995732 |
30 | 3.401197 |
40 | 3,688879 |
50 | 3.912023 |
60 | 4,094345 |
70 | 4,248495 |
80 | 4.382027 |
90 | 4,499810 |
100 | 4,605170 |
200 | 5,298317 |
300 | 5,703782 |
400 | 5,991465 |
500 | 6.214608 |
600 | 6,396930 |
700 | 6,551080 |
800 | 6,684612 |
900 | 6.802395 |
1000 | 6,907755 |
10000 | 9.210340 |
Advertising