Regles del logaritme
El logaritme de base b d'un nombre és l' exponent que necessitem per augmentar la base per obtenir el nombre.
- Definició del logaritme
- Regles del logaritme
- Problemes de logaritme
- Logaritme complex
- Gràfic de log(x)
- Taula de logaritmes
- Calculadora de logaritmes
Definició del logaritme
Quan b s'eleva a la potència de y és igual a x:
b y = x
Aleshores el logaritme de base b de x és igual a y:
logb(x) = y
Per exemple quan:
24 = 16
Aleshores
log2(16) = 4
Logaritme com a funció inversa de la funció exponencial
La funció logarítmica,
y = logb(x)
és la funció inversa de la funció exponencial,
x = by
Així, si calculem la funció exponencial del logaritme de x (x>0),
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
O si calculem el logaritme de la funció exponencial de x,
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
Logaritme natural (ln)
El logaritme natural és un logaritme de la base e:
ln(x) = loge(x)
Quan e constant és el nombre:
o
Vegeu: Logaritme natural
Càlcul del logaritme invers
El logaritme invers (o antilogaritme) es calcula augmentant la base b al logaritme y:
x = log-1(y) = b y
Funció logarítmica
La funció logarítmica té la forma bàsica de:
f (x) = logb(x)
Regles del logaritme
| Nom de la regla | Regla |
|---|---|
Regla de producte logarítmica |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Regla del quocient logarítmic |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Regla de potència del logaritme |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Regla de commutació de base logarítmica |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Regla de canvi de base del logaritme |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Derivada del logaritme |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) ) |
Integral del logaritme |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Logaritme d'un nombre negatiu |
log b ( x ) no està definit quan x ≤ 0 |
Logaritme de 0 |
log b (0) no està definit |
 |
|
Logaritme d'1 |
log b (1) = 0 |
Logaritme de la base |
log b ( b ) = 1 |
Logaritme de l'infinit |
lím log b ( x ) = ∞, quan x →∞ |
Vegeu: Regles del logaritme
Regla de producte logarítmica
El logaritme de la multiplicació de x i y és la suma del logaritme de x i el logaritme de y.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Per exemple:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
Regla del quocient logarítmic
El logaritme de la divisió de x i y és la diferència del logaritme de x i el logaritme de y.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Per exemple:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
Regla de potència del logaritme
El logaritme de x elevat a la potència de y és y vegades el logaritme de x.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Per exemple:
log10(28) = 8∙ log10(2)
Regla de commutació de base logarítmica
El logaritme de base b de c és 1 dividit pel logaritme de base c de b.
logb(c) = 1 / logc(b)
Per exemple:
log2(8) = 1 / log8(2)
Regla de canvi de base del logaritme
El logaritme de base b de x és el logaritme de base c de x dividit pel logaritme de base c de b.
logb(x) = logc(x) / logc(b)
Per exemple, per calcular el log 2 (8) a la calculadora, hem de canviar la base a 10:
log2(8) = log10(8) / log10(2)
Vegeu: regla de canvi de base de registre
Logaritme d'un nombre negatiu
La base b logaritme real de x quan x<=0 no està definit quan x és negatiu o igual a zero:
logb(x) is undefined when x ≤ 0
Vegeu: registre de nombre negatiu
Logaritme de 0
El logaritme de base b de zero no està definit:
logb(0) is undefined
El límit del logaritme de base b de x, quan x s'acosta a zero, és menys infinit:
Vegeu: log de zero
Logaritme d'1
El logaritme de base b d'un és zero:
logb(1) = 0
Per exemple, el logaritme d'un en base dos és zero:
log2(1) = 0
Veure: registre d'un
Logaritme de l'infinit
El límit del logaritme base b de x, quan x s'acosta a l'infinit, és igual a l'infinit:
lim logb(x) = ∞, when x→∞
Vegeu: registre de l'infinit
Logaritme de la base
El logaritme b base de b és un:
logb(b) = 1
Per exemple, el logaritme en base dos de dos és un:
log2(2) = 1
Derivada logarítmica
Quan
f (x) = logb(x)
Aleshores la derivada de f(x):
f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
Vegeu: derivada de registre
Integral de logaritme
La integral del logaritme de x:
∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
Per exemple:
∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C
Aproximació logarítmica
log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,
Logaritme complex
Per al nombre complex z:
z = reiθ = x + iy
El logaritme complex serà (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
Problemes de logaritme i respostes
Problema #1
Troba x per
log2(x) + log2(x-3) = 2
Solució:
Utilitzant la regla del producte:
log2(x∙(x-3)) = 2
Canviar la forma del logaritme segons la definició del logaritme:
x∙(x-3) = 22
O
x2-3x-4 = 0
Resolució de l'equació de segon grau:
x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1
Com que el logaritme no està definit per a nombres negatius, la resposta és:
x = 4
Problema #2
Troba x per
log3(x+2) - log3(x) = 2
Solució:
Utilitzant la regla del quocient:
log3((x+2) / x) = 2
Canviar la forma del logaritme segons la definició del logaritme:
(x+2)/x = 32
O
x+2 = 9x
O
8x = 2
O
x = 0.25
Gràfic de log(x)
log(x) no està definit per a valors reals no positius de x:
Taula de logaritmes
| x | registre 10 x | registre 2 x | registre e x |
|---|---|---|---|
| 0 | indefinit | indefinit | indefinit |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0,0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
| 0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
| 0,01 | -2 | -6,643856 | -4,605170 |
| 0.1 | -1 | -3,321928 | -2,302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
| 3 | 0,477121 | 1,584963 | 1,098612 |
| 4 | 0,602060 | 2 | 1,386294 |
| 5 | 0,698970 | 2.321928 | 1,609438 |
| 6 | 0,778151 | 2,584963 | 1,791759 |
| 7 | 0,845098 | 2,807355 | 1,945910 |
| 8 | 0,903090 | 3 | 2,079442 |
| 9 | 0,954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4,321928 | 2,995732 |
| 30 | 1,477121 | 4,906891 | 3.401197 |
| 40 | 1.602060 | 5,321928 | 3,688879 |
| 50 | 1,698970 | 5,643856 | 3.912023 |
| 60 | 1,778151 | 5,906991 | 4,094345 |
| 70 | 1,845098 | 6.129283 | 4,248495 |
| 80 | 1,903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1,954243 | 6.491853 | 4,499810 |
| 100 | 2 | 6.643856 | 4,605170 |
| 200 | 2.301030 | 7,643856 | 5,298317 |
| 300 | 2,477121 | 8.228819 | 5,703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5,991465 |
| 500 | 2,698970 | 8,965784 | 6.214608 |
| 600 | 2,778151 | 9.228819 | 6,396930 |
| 700 | 2,845098 | 9.451211 | 6,551080 |
| 800 | 2,903090 | 9.643856 | 6,684612 |
| 900 | 2,954243 | 9,813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9,965784 | 6,907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
Vegeu també
- Regles del logaritme
- Canvi de logaritme de base
- Logaritme de zero
- Logaritme d'un
- Logaritme de l'infinit
- Logaritme d'un nombre negatiu
- Calculadora de logaritmes
- Gràfic de logaritmes
- Taula de logaritmes
- Calculadora de logaritmes naturals
- Logaritme natural - ln x
- e constant
- Decibels (dB)
Advertising