लॉगरिदम नियम

संख्येचा बेस b लॉगरिदम हा घातांक आहे जो संख्या मिळविण्यासाठी आपल्याला आधार वाढवण्याची आवश्यकता आहे .

लॉगरिथम व्याख्या

जेव्हा b y च्या घातापर्यंत वाढवले ​​जाते तेव्हा x समान असते:

b y = x

नंतर x चा बेस b लॉगरिदम y च्या बरोबरीचा आहे:

logb(x) = y

उदाहरणार्थ जेव्हा:

24 = 16

मग

log2(16) = 4

घातांकीय कार्याचे व्यस्त कार्य म्हणून लॉगरिदम

लॉगरिदमिक फंक्शन,

y = logb(x)

घातांकीय कार्याचे व्यस्त कार्य आहे,

x = by

म्हणून जर आपण x (x>0) च्या लॉगॅरिथमच्या घातांकीय कार्याची गणना केली,

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

किंवा जर आपण x च्या घातांकीय कार्याचा लॉगरिदम काढला तर,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

नैसर्गिक लॉगरिदम (ln)

नैसर्गिक लॉगरिथम हे बेस e चे लॉगरिथम आहे:

ln(x) = loge(x)

जेव्हा e स्थिरांक असतो:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...

किंवा

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

पहा: नैसर्गिक लॉगरिदम

व्यस्त लॉगरिथम गणना

व्यस्त लॉगरिदम (किंवा अँटी लॉगरिथम) ची गणना बेस b ला लॉगरिदम y वर करून केली जाते:

x = log-1(y) = b y

लॉगरिदमिक कार्य

लॉगरिदमिक फंक्शनचे मूलभूत स्वरूप आहे:

f (x) = logb(x)

लॉगरिदम नियम

नियमाचे नाव नियम
लॉगरिदम उत्पादन नियम
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
लॉगरिदम भागफल नियम
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
लॉगरिदम पॉवर नियम
 लॉग b ( x y ) = y ∙ लॉग b ( x )
लॉगरिदम बेस स्विच नियम
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
लॉगरिदम आधार बदल नियम
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
लॉगरिदमचे व्युत्पन्न
 f ( x ) = लॉग b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
लॉगरिदमचा अविभाज्य भाग
 ∫ लॉग b ( x ) dx = x ∙ ( लॉग b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
ऋण संख्येचा लॉगरिदम
 जेव्हा x ≤ 0 असेल तेव्हालॉग b ( x ) अपरिभाषित आहे
0 चा लॉगरिदम
 log b (0) अपरिभाषित आहे
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
1 चा लॉगरिदम
 log b (1) = 0
बेसचा लॉगरिदम
 लॉग b ( b ) = 1
अनंताचा लॉगरिदम
 lim लॉग b ( x ) = ∞, जेव्हा x →∞

पहा: लॉगरिदम नियम

 

लॉगरिदम उत्पादन नियम

x आणि y च्या गुणाकाराचा लॉगरिथम x च्या लॉगरिथमची आणि y च्या लॉगरिथमची बेरीज आहे.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

उदाहरणार्थ:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

लॉगरिदम भागफल नियम

x आणि y च्या भागाकाराचा लॉगरिदम हा x च्या लॉगरिथम आणि y च्या लॉगरिथममधील फरक आहे.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

उदाहरणार्थ:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

लॉगरिदम पॉवर नियम

x चा लॉगरिथम y च्या घातापर्यंत वाढवलेला x च्या लॉगरिदमच्या y पट आहे.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

उदाहरणार्थ:

log10(28) = 8∙ log10(2)

लॉगरिदम बेस स्विच नियम

c चा बेस b लॉगॅरिथम 1 ने भागून b च्या बेस c लॉगरिथम आहे.

logb(c) = 1 / logc(b)

उदाहरणार्थ:

log2(8) = 1 / log8(2)

लॉगरिदम आधार बदल नियम

x चा बेस b लॉगरिदम हा x चा बेस c लॉगरिथम भागून b च्या बेस c लॉगरिथम आहे.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

उदाहरणार्थ, कॅल्क्युलेटरमध्ये लॉग 2 (8) ची गणना करण्यासाठी, आम्हाला बेस बदलून 10 करणे आवश्यक आहे:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

पहा: लॉग बेस चेंज नियम

ऋण संख्येचा लॉगरिदम

x चे मूळ b वास्तविक लॉगरिदम जेव्हा x ऋण किंवा शून्याच्या समान असते तेव्हा x<=0 अपरिभाषित असतो:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

पहा: ऋण संख्येचा लॉग

0 चा लॉगरिदम

शून्याचा बेस b लॉगरिथम अपरिभाषित आहे:

logb(0) is undefined

x च्या बेस b logarithm ची मर्यादा, x जेव्हा शून्याजवळ येते तेव्हा वजा अनंत असते:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

पहा: शून्याचा लॉग

1 चा लॉगरिदम

एकाचा बेस b लॉगरिदम शून्य आहे:

logb(1) = 0

उदाहरणार्थ, teh बेस दोन लॉगरिदम एक शून्य आहे:

log2(1) = 0

पहा: लॉग ऑफ वन

अनंताचा लॉगरिदम

x च्या बेस b लॉगॅरिथमची मर्यादा, जेव्हा x अनंताच्या जवळ येतो, तेव्हा अनंताच्या समान असते:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

पहा: लॉग ऑफ इन्फिनिटी

बेसचा लॉगरिदम

b चा बेस b लॉगॅरिथम एक आहे:

logb(b) = 1

उदाहरणार्थ, दोनचा बेस दोन लॉगॅरिथम एक आहे:

log2(2) = 1

लॉगरिदम व्युत्पन्न

कधी

f (x) = logb(x)

नंतर f(x) चे व्युत्पन्न:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

पहा: लॉग व्युत्पन्न

लॉगरिदम अविभाज्य

x च्या लॉगरिथमचा अविभाज्य भाग:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

उदाहरणार्थ:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

लॉगरिथम अंदाजे

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

जटिल लॉगरिदम

कॉम्प्लेक्स नंबर z साठी:

z = reiθ = x + iy

जटिल लॉगरिदम असेल (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

लॉगरिदम समस्या आणि उत्तरे

समस्या # 1

साठी x शोधा

log2(x) + log2(x-3) = 2

उपाय:

उत्पादन नियम वापरणे:

log2(x∙(x-3)) = 2

लॉगरिथम व्याख्येनुसार लॉगरिथम फॉर्म बदलणे:

x∙(x-3) = 22

किंवा

x2-3x-4 = 0

द्विघात समीकरण सोडवणे:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

ऋणात्मक संख्यांसाठी लॉगरिथम परिभाषित नसल्यामुळे, उत्तर आहे:

x = 4

समस्या # 2

साठी x शोधा

log3(x+2) - log3(x) = 2

उपाय:

भागफल नियम वापरणे:

log3((x+2) / x) = 2

लॉगरिथम व्याख्येनुसार लॉगरिथम फॉर्म बदलणे:

(x+2)/x = 32

किंवा

x+2 = 9x

किंवा

8x = 2

किंवा

x = 0.25

लॉगचा आलेख(x)

log(x) हे x च्या वास्तविक गैर-सकारात्मक मूल्यांसाठी परिभाषित केलेले नाही:

लॉगरिदम सारणी

x लॉग 10 x लॉग 2 x log e x
0 अपरिभाषित अपरिभाषित अपरिभाषित
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0.0001 -4 -१३.२८७७१२ -9.210340
०.००१ -3 -9.965784 -6.907755
०.०१ -2 -६.६४३८५६ -4.605170
०.१ -1 -3.321928 -2.302585
१ 0 0 0
2 0.301030 १ ०.६९३१४७
3 ०.४७७१२१ १.५८४९६३ १.०९८६१२
4 0.602060 2 १.३८६२९४
५ ०.६९८९७० 2.321928 १.६०९४३८
6 ०.७७८१५१ 2.584963 1.791759
७ ०.८४५०९८ 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 २.०७९४४२
९ ०.९५४२४३ ३.१६९९२५ 2.197225
10 १ ३.३२१९२८ 2.302585
20 1.301030 ४.३२१९२८ 2.995732
३० १.४७७१२१ ४.९०६८९१ 3.401197
40 1.602060 ५.३२१९२८ ३.६८८८७९
50 १.६९८९७० ५.६४३८५६ ३.९१२०२३
६० १.७७८१५१ ५.९०६९९१ ४.०९४३४५
70 1.845098 ६.१२९२८३ ४.२४८४९५
80 1.903090 ६.३२१९२८ ४.३८२०२७
90 1.954243 ६.४९१८५३ ४.४९९८१०
100 2 ६.६४३८५६ ४.६०५१७०
200 2.301030 ७.६४३८५६ ५.२९८३१७
300 २.४७७१२१ ८.२२८८१९ ५.७०३७८२
400 2.602060 ८.६४३८५६ ५.९९१४६५
५०० 2.698970 ८.९६५७८४ ६.२१४६०८
600 २.७७८१५१ ९.२२८८१९ ६.३९६९३०
७०० 2.845098 ९.४५१२११ ६.५५१०८०
800 2.903090 ९.६४३८५६ ६.६८४६१२
९०० 2.954243 ९.८१३७८१ ६.८०२३९५
1000 3 ९.९६५७८४ ६.९०७७५५
10000 4 १३.२८७७१२ 9.210340

 

लॉगरिदम कॅल्क्युलेटर ►

 

हे देखील पहा

Advertising

बीजगणित
°• CmtoInchesConvert.com •°