قواعد اللوغاريتم

لوغاريتم الأساس b لرقم هو الأس الذي نحتاجه لرفع الأساس للحصول على العدد.

• تعريف اللوغاريتم
• قواعد اللوغاريتم
• مشاكل اللوغاريتم
• لوغاريتم معقد
• رسم بياني للسجل (x)
• جدول اللوغاريتم
• حاسبة اللوغاريتم

تعريف اللوغاريتم

عندما ترفع b إلى أس y يساوي x:

b ^y = x

إذن ، لوغاريتم القاعدة ب في المتغير x يساوي ص:

log_b(x) = y

على سبيل المثال عندما:

2⁴ = 16

ثم

log₂(16) = 4

اللوغاريتم كدالة عكسية للدالة الأسية

الوظيفة اللوغاريتمية ،

y = log_b(x)

هي الوظيفة العكسية للدالة الأسية ،

x = b^y

لذلك إذا قمنا بحساب الدالة الأسية للوغاريتم x (x> 0) ،

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

أو إذا قمنا بحساب لوغاريتم الدالة الأسية لـ x ،

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

اللوغاريتم الطبيعي (ln)

اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم للقاعدة e:

ln(x) = log_e(x)

عندما يكون ثابت e هو الرقم:

أو

 

انظر: اللوغاريتم الطبيعي

حساب اللوغاريتم العكسي

يتم حساب اللوغاريتم العكسي (أو اللوغاريتم المضاد) برفع القاعدة b إلى اللوغاريتم y:

x = log^-1(y) = b ^y

دالة لوغاريتمية

الوظيفة اللوغاريتمية لها الشكل الأساسي:

f (x) = log_b(x)

قواعد اللوغاريتم

اسم القاعدة	القاعدة
قاعدة منتج اللوغاريتم	السجل ب ( س ∙ ص ) = السجل ب ( س ) + السجل ب ( ص )
قاعدة حاصل قسمة اللوغاريتم	السجل ب ( س / ص ) = السجل ب ( س ) - السجل ب ( ص )
حكم قوة اللوغاريتم	سجل ب ( س ص ) = ص ∙ سجل ب ( س )
قاعدة تبديل قاعدة اللوغاريتم	تسجيل ب ( ج ) = 1 / سجل ج ( ب )
قاعدة تغيير قاعدة اللوغاريتم	سجل ب ( س ) = سجل ج ( س ) / سجل ج ( ب )
مشتق من اللوغاريتم	f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
تكامل اللوغاريتم	∫ السجل b ( x ) dx = x ∙ (السجل ب ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
لوغاريتم الرقم السالب	سجل ب ( س ) غير معرف عندما س ≤ 0
لوغاريتم 0	سجل ب (0) غير محدد
لوغاريتم 1	سجل ب (1) = 0
لوغاريتم القاعدة	سجل ب ( ب ) = 1
لوغاريتم ما لا نهاية	lim log b ( x ) = ، عندما x → ∞

انظر: قواعد اللوغاريتم

 

قاعدة منتج اللوغاريتم

لوغاريتم ضرب x و y هو مجموع لوغاريتم x ولوغاريتم y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

علي سبيل المثال:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

قاعدة حاصل قسمة اللوغاريتم

لوغاريتم قسمة x و y هو الفرق في لوغاريتم x ولوغاريتم y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

علي سبيل المثال:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

حكم قوة اللوغاريتم

لوغاريتم x مرفوع للقوة y يساوي y ضرب لوغاريتم x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

علي سبيل المثال:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

قاعدة تبديل قاعدة اللوغاريتم

اللوغاريتم الأساسي b لـ c يساوي 1 مقسومًا على لوغاريتم b للأساس c.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

علي سبيل المثال:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

قاعدة تغيير قاعدة اللوغاريتم

لوغاريتم x للأساس b هو لوغاريتم x للقاعدة c مقسومًا على لوغاريتم b للقاعدة c.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

على سبيل المثال ، لحساب السجل ₂ (8) في الآلة الحاسبة ، نحتاج إلى تغيير الأساس إلى 10:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

انظر: سجل قاعدة التغيير القاعدة

لوغاريتم الرقم السالب

اللوغاريتم الحقيقي للأساس ب لـ x عندما يكون x <= 0 غير معرف عندما تكون x سالبة أو تساوي صفرًا:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

انظر: سجل الرقم السالب

لوغاريتم 0

اللوغاريتم الأساسي ب للصفر غير معرف:

log_b(0) is undefined

نهاية لوغاريتم x للقاعدة b ، عندما يقترب x من الصفر ، تساوي سالب ما لا نهاية:

انظر: سجل الصفر

لوغاريتم 1

لوغاريتم الأساس ب للعدد واحد هو صفر:

log_b(1) = 0

على سبيل المثال ، لوغاريتم الأساس الثاني للواحد هو صفر:

log₂(1) = 0

انظر: سجل واحد

لوغاريتم ما لا نهاية

نهاية لوغاريتم x للقاعدة b ، عندما يقترب x من ما لا نهاية ، يساوي اللانهاية:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

انظر: سجل اللانهاية

لوغاريتم القاعدة

اللوغاريتم الأساسي b لـ b هو واحد:

log_b(b) = 1

على سبيل المثال ، لوغاريتم الأساس اثنين لاثنين هو واحد:

log₂(2) = 1

مشتق اللوغاريتم

متي

f (x) = log_b(x)

ثم مشتق f (x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

انظر: مشتق السجل

تكامل اللوغاريتم

تكامل لوغاريتم x:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

علي سبيل المثال:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

تقريب اللوغاريتم

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

لوغاريتم معقد

للعدد المركب ض:

z = re^iθ = x + iy

سيكون اللوغاريتم المعقد (n = ...- 2، -1،0،1،2، ...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

مشاكل اللوغاريتم وإجاباتها

المشكلة رقم 1

ابحث عن x عن

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

حل:

باستخدام قاعدة المنتج:

log₂(x∙(x-3)) = 2

تغيير شكل اللوغاريتم حسب تعريف اللوغاريتم:

x∙(x-3) = 2²

أو

x²-3x-4 = 0

حل المعادلة التربيعية:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

نظرًا لأن اللوغاريتم غير محدد للأرقام السالبة ، فإن الإجابة هي:

x = 4

المشكلة رقم 2

ابحث عن x عن

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

حل:

باستخدام قاعدة خارج القسمة:

log₃((x+2) / x) = 2

تغيير شكل اللوغاريتم حسب تعريف اللوغاريتم:

(x+2)/x = 3²

أو

x+2 = 9x

أو

8x = 2

أو

x = 0.25

رسم بياني للسجل (x)

لم يتم تعريف log (x) للقيم الحقيقية غير الموجبة لـ x:

جدول اللوغاريتمات

x	سجل 10 x	سجل 2 x	تسجيل البريد العاشر
0	غير معرف	غير معرف	غير معرف
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0.0001	-4	-13.287712	-9.210340
0.001	-3	-9.965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0.301030	1	0.693147
3	0.477121	1.584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0.698970	2.321928	1.609438
6	0.778151	2.584963	1.791759
7	0.845098	2.807355	1.945910
8	0.903090	3	2.079442
9	0.954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2.995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1.954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2.477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2.698970	8.965784	6.214608
600	2.778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2.954243	9.813781	6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

آلة حاسبة لوغاريتم ►

 

---

أنظر أيضا

• قواعد اللوغاريتم
• تغيير القاعدة اللوغاريتمية
• لوغاريتم الصفر
• لوغاريتم واحد
• لوغاريتم ما لا نهاية
• لوغاريتم الرقم السالب
• حاسبة اللوغاريتم
• الرسم البياني اللوغاريتمي
• جدول اللوغاريتم
• حاسبة اللوغاريتم الطبيعي
• اللوغاريتم الطبيعي - ln x
• ثابت البريد
• ديسيبل (ديسيبل)