Розподіл ймовірностей

У ймовірності та статистиці розподіл є характеристикою випадкової величини, описує ймовірність випадкової величини в кожному значенні.

Кожен розподіл має певну функцію щільності ймовірності та функцію розподілу ймовірності.

Хоча існує невизначена кількість розподілів ймовірностей, існує кілька загальних розподілів, які використовуються.

Розподіл ймовірностей описується кумулятивною функцією розподілу F(x),

яка є ймовірністю випадкової змінної X отримати значення, менше або дорівнює x:

F(x) = P(X ≤ x)

Кумулятивна функція розподілу F(x) обчислюється інтегруванням функції щільності ймовірності f(u) безперервної випадкової величини X.

Кумулятивна функція розподілу F(x) обчислюється шляхом підсумовування функції маси ймовірності P(u) дискретної випадкової величини X.

Неперервний розподіл — це розподіл неперервної випадкової величини.

...

Назва дистрибутива	символ розподілу	Функція щільності ймовірності (pdf)	Середній	Дисперсія
		f _X ( x )	μ = E ( X )	σ ² = Var ( X )
Нормальний/гаусівський	X ~ N (μ,σ ² )	$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	μ	σ ²
Уніформа	X ~ U ( a , b )	$\begin{Bmatrix}\frac{1}{ba} & ,a\leq x\leq b\\ & \\0 & ,інакше\end{matrix}$		$\frac{(ba)^2}{12}$
Експоненціальний	X ~ exp (λ)	$\begin{Bmatrix}\lambda e^{-\lambda x} & x\geq 0\\ 0 & x<0\end{matrix}$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
Гамма	X ~ гамма ( c , λ)	$\frac{\lambda ^cx^{c-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (c)}$ x > 0, c > 0, λ > 0	$\frac{c}{\lambda }$	$\frac{c}{\lambda ^2}$
Чі квадрат	X ~ χ ² ( k )	$\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Гамма (k/2)}$	k	2 тис
Wishart
Ф	X ~ F ( k ₁, k ₂ )
Бета
Вейбулл
Лог-нормальний	X ~ LN (μ,σ ² )
Релей
Коші
Діріхле
Лапласа
Леві
Рис
Студентська т

Дискретний розподіл — це розподіл дискретної випадкової величини.

...

Назва дистрибутива	символ розподілу	Функція маси ймовірності (pmf)		Середній	Дисперсія
		f _x ( k ) = P ( X = k ) k = 0,1,2,...		E ( x )	змінна ( x )
Біном	X ~ Bin ( n , p )	$\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{nk}$		np	np (1- p )
Пуассон	X ~ Пуассона (λ)		λ ≥ 0	λ	λ
Уніформа	X ~ U ( a, b )	$\begin{Bmatrix}\frac{1}{b-a+1} & ,a\leq k\leq b\\ & \\0 & ,інакше\end{matrix}$		$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a+1)^{2}-1}{12}$
Геометричний	X ~ Geom ( p )	$p(1-p)^{k}$		$\frac{1-p}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
Гіпергеометричний	X ~ HG ( N , K , n )		N = 0,1,2,... К = 0,1,.., Н n = 0,1,..., N	$\frac{nK}{N}$	$\frac{nK(NK)(Nn)}{N^2(N-1)}$
Бернуллі	X ~ Берн ( p )	$\begin{Bmatrix}(1-p) & ,k=0\\ p & ,k=1\\ 0 & ,інакше\end{matrix}$		стор	p (1- p )

Дивись також