Logaritma Kuralları

Bir sayınınb tabanı logaritması , sayıyı elde etmek için tabanı yükseltmemiz gereken üsdür .

• logaritma tanımı
• Logaritma kuralları
• logaritma problemleri
• karmaşık logaritma
• log(x) grafiği
• Logaritma tablosu
• Logaritma hesap makinesi

logaritma tanımı

b, y eşittir x'in gücüne yükseltildiğinde:

b ^y = x

O zaman x'in b tabanı logaritması y'ye eşittir:

log_b(x) = y

Örneğin:

2⁴ = 16

Daha sonra

log₂(16) = 4

Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu olarak logaritma

logaritmik fonksiyon,

y = log_b(x)

üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur,

x = b^y

Yani x'in (x>0) logaritmasının üstel fonksiyonunu hesaplarsak,

f (f ^-1(x)) = b^logb^(x) = x

Veya x'in üstel fonksiyonunun logaritmasını hesaplarsak,

f ^-1(f (x)) = log_b(b^x) = x

Doğal logaritma (ln)

Doğal logaritma , e tabanına göre bir logaritmadır:

ln(x) = log_e(x)

e sabiti sayı olduğunda:

veya

 

Bakınız: Doğal logaritma

ters logaritma hesaplaması

Ters logaritma (veya anti logaritma), b tabanını y logaritmasına yükselterek hesaplanır:

x = log^-1(y) = b ^y

logaritmik fonksiyon

Logaritmik fonksiyon şu temel forma sahiptir:

f (x) = log_b(x)

Logaritma kuralları

Kural adı	Kural
Logaritma çarpım kuralı	günlük b ( x ∙ y ) = günlük b ( x ) + günlük b ( y )
Logaritma bölüm kuralı	günlük b ( x / y ) = günlük b ( x ) - günlük b ( y )
Logaritma kuvvet kuralı	günlük b ( x y ) = y ∙ günlük b ( x )
Logaritma taban değiştirme kuralı	günlük b ( c ) = 1 / günlük c ( b )
Logaritma taban değiştirme kuralı	günlük b ( x ) = günlük c ( x ) / günlük c ( b )
logaritmanın türevi	f ( x ) = günlük b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
logaritmanın integrali	∫ günlük b ( x ) dx = x ∙ ( günlük b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Negatif sayının logaritması	x ≤ 0 olduğundalog b ( x ) tanımsızdır
0'ın logaritması	günlük b (0) tanımsız
1'in logaritması	günlük b (1) = 0
tabanın logaritması	günlük b ( b ) = 1
sonsuzun logaritması	lim log b ( x ) = ∞, x →∞ olduğunda

Bakınız: Logaritma kuralları

 

Logaritma çarpım kuralı

x ve y'nin çarpımının logaritması, x'in logaritması ile y'nin logaritmasının toplamıdır.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Örneğin:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logaritma bölüm kuralı

x ve y'nin bölümünün logaritması, x'in logaritması ile y'nin logaritmasının farkıdır.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Örneğin:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Logaritma kuvvet kuralı

x'in y'nin kuvvetine yükseltilmiş logaritması, x'in logaritmasının y katıdır.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Örneğin:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Logaritma taban değiştirme kuralı

c'nin b tabanı logaritması 1 bölü b'nin c tabanı logaritmasıdır.

log_b(c) = 1 / log_c(b)

Örneğin:

log₂(8) = 1 / log₈(2)

Logaritma taban değiştirme kuralı

x'in b tabanı logaritması, x'in c tabanı logaritmasının b'nin c tabanı logaritmasına bölünmesidir.

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Örneğin, hesap makinesinde log _2'yi (8) hesaplamak için tabanı 10 olarak değiştirmemiz gerekir:

log₂(8) = log₁₀(8) / log₁₀(2)

Bakınız: günlük tabanı değiştirme kuralı

Negatif sayının logaritması

x negatif veya sıfıra eşit olduğunda x<=0 tanımsız olduğunda, x'in b tabanı gerçek logaritması:

log_b(x) is undefined when x ≤ 0

Bakınız: negatif sayı günlüğü

0'ın logaritması

Sıfırın b tabanı logaritması tanımsızdır:

log_b(0) is undefined

x'in sıfıra yaklaştığı andaki b tabanı logaritmasının limiti eksi sonsuzdur:

Bakınız: sıfır günlüğü

1'in logaritması

Birin taban b logaritması sıfırdır:

log_b(1) = 0

Örneğin, birin iki tabanlı logaritması sıfırdır:

log₂(1) = 0

Bakınız: bir günlüğü

sonsuzun logaritması

x'in taban b logaritmasının limiti, x sonsuza yaklaştığında, sonsuza eşittir:

lim log_b(x) = ∞, when x→∞

Bakınız: sonsuzluk günlüğü

tabanın logaritması

b'nin b tabanı logaritması birdir:

log_b(b) = 1

Örneğin, ikinin iki tabanlı logaritması birdir:

log₂(2) = 1

logaritma türevi

Ne zaman

f (x) = log_b(x)

O zaman f(x'in türevi):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Bakınız: günlük türevi

logaritma integrali

x'in logaritmasının integrali:

∫ log_b(x) dx = x ∙ ( log_b(x) - 1 / ln(b) ) + C

Örneğin:

∫ log₂(x) dx = x ∙ ( log₂(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritma yaklaşımı

log₂(x) ≈ n + (x/2ⁿ - 1) ,

karmaşık logaritma

z karmaşık sayısı için:

z = re^iθ = x + iy

Karmaşık logaritma (n = ...-2,-1,0,1,2,...) olacaktır:

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Logaritma soruları ve cevapları

Sorun 1

için x'i bul

log₂(x) + log₂(x-3) = 2

Çözüm:

Çarpım kuralını kullanarak:

log₂(x∙(x-3)) = 2

Logaritma formunun logaritma tanımına göre değiştirilmesi:

x∙(x-3) = 2²

Veya

x²-3x-4 = 0

İkinci dereceden denklemi çözme:

x_1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Negatif sayılar için logaritma tanımlı olmadığı için cevap:

x = 4

Problem #2

için x'i bul

log₃(x+2) - log₃(x) = 2

Çözüm:

Bölüm kuralını kullanarak:

log₃((x+2) / x) = 2

Logaritma formunun logaritma tanımına göre değiştirilmesi:

(x+2)/x = 3²

Veya

x+2 = 9x

Veya

8x = 2

Veya

x = 0.25

log(x) grafiği

log(x), x'in pozitif olmayan gerçek değerleri için tanımlanmamıştır:

Logaritma tablosu

X	günlük 10 x	günlük 2 x	günlük e x
0	Tanımsız	Tanımsız	Tanımsız
0 +	- ∞	- ∞	- ∞
0,0001	-4	-13.287712	-9.210340
0,001	-3	-9,965784	-6.907755
0.01	-2	-6.643856	-4.605170
0.1	-1	-3.321928	-2.302585
1	0	0	0
2	0,301030	1	0,693147
3	0,477121	1,584963	1.098612
4	0.602060	2	1.386294
5	0,698970	2.321928	1.609438
6	0,778151	2,584963	1.791759
7	0,845098	2.807355	1.945910
8	0,903090	3	2.079442
9	0,954243	3.169925	2.197225
10	1	3.321928	2.302585
20	1.301030	4.321928	2,995732
30	1.477121	4.906891	3.401197
40	1.602060	5.321928	3.688879
50	1.698970	5.643856	3.912023
60	1.778151	5.906991	4.094345
70	1.845098	6.129283	4.248495
80	1.903090	6.321928	4.382027
90	1,954243	6.491853	4.499810
100	2	6.643856	4.605170
200	2.301030	7.643856	5.298317
300	2,477121	8.228819	5.703782
400	2.602060	8.643856	5.991465
500	2,698970	8.965784	6.214608
600	2,778151	9.228819	6.396930
700	2.845098	9.451211	6.551080
800	2.903090	9.643856	6.684612
900	2,954243	9.813781	6.802395
1000	3	9.965784	6.907755
10000	4	13.287712	9.210340

 

Logaritma hesaplayıcı ►

 

---

Ayrıca bakınız

• Logaritma kuralları
• Logaritma taban değişimi
• sıfırın logaritması
• birinin logaritması
• sonsuzun logaritması
• Negatif sayının logaritması
• Logaritma hesap makinesi
• logaritma grafiği
• Logaritma tablosu
• Doğal logaritma hesaplayıcısı
• Doğal logaritma - ln x
• e sabiti
• Desibel (dB)