Mga Panuntunan sa Logarithm

Ang base b logarithm ng isang numero ay ang exponent na kailangan nating itaas ang base upang makuha ang numero.

Kahulugan ng logarithm

Kapag ang b ay itinaas sa kapangyarihan ng y ay katumbas ng x:

b y = x

Kung gayon ang base b logarithm ng x ay katumbas ng y:

logb(x) = y

Halimbawa kapag:

24 = 16

Pagkatapos

log2(16) = 4

Logarithm bilang inverse function ng exponential function

Ang logarithmic function,

y = logb(x)

ay ang inverse function ng exponential function,

x = by

Kaya kung kalkulahin natin ang exponential function ng logarithm ng x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

O kung kalkulahin natin ang logarithm ng exponential function ng x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Natural logarithm (ln)

Ang natural na logarithm ay isang logarithm sa base e:

ln(x) = loge(x)

Kapag ang e constant ay ang numero:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...

o

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\kaliwa ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Tingnan ang: Natural logarithm

Baliktad na pagkalkula ng logarithm

Ang inverse logarithm (o anti logarithm) ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagtaas ng base b sa logarithm y:

x = log-1(y) = b y

Logarithmic function

Ang logarithmic function ay may pangunahing anyo ng:

f (x) = logb(x)

Mga panuntunan sa logarithm

Pangalan ng panuntunan Panuntunan
Panuntunan ng produkto ng logarithm
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logarithm quotient rule
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Panuntunan ng kapangyarihan ng logarithm
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Panuntunan ng logarithm base switch
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Panuntunan sa pagbabago ng base ng logarithm
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Derivative ng logarithm
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Integral ng logarithm
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logarithm ng negatibong numero
 Ang log b ( x ) ay hindi natukoy kapag x ≤ 0
Logarithm ng 0
 Ang log b (0) ay hindi natukoy
\lim__{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logarithm ng 1
 log b (1) = 0
Logarithm ng base
 log b ( b ) = 1
Logarithm ng infinity
 lim log b ( x ) = ∞, kapag x →∞

Tingnan ang: Logarithm rules

 

Panuntunan ng produkto ng logarithm

Ang logarithm ng multiplication ng x at y ay ang kabuuan ng logarithm ng x at logarithm ng y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Halimbawa:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logarithm quotient rule

Ang logarithm ng dibisyon ng x at y ay ang pagkakaiba ng logarithm ng x at logarithm ng y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Halimbawa:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Panuntunan ng kapangyarihan ng logarithm

Ang logarithm ng x na itinaas sa kapangyarihan ng y ay y beses ang logarithm ng x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Halimbawa:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Panuntunan ng logarithm base switch

Ang base b logarithm ng c ay 1 na hinati sa base c logarithm ng b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Halimbawa:

log2(8) = 1 / log8(2)

Panuntunan sa pagbabago ng base ng logarithm

Ang base b logarithm ng x ay base c logarithm ng x na hinati sa base c logarithm ng b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Halimbawa, upang makalkula ang log 2 (8) sa calculator, kailangan nating baguhin ang base sa 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Tingnan ang: log base change rule

Logarithm ng negatibong numero

Ang base b real logarithm ng x kapag x<=0 ay hindi natukoy kapag ang x ay negatibo o katumbas ng zero:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Tingnan ang: log ng negatibong numero

Logarithm ng 0

Ang base b logarithm ng zero ay hindi natukoy:

logb(0) is undefined

Ang limitasyon ng base b logarithm ng x, kapag ang x ay lumalapit sa zero, ay minus infinity:

\lim__{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Tingnan ang: log ng zero

Logarithm ng 1

Ang base b logarithm ng isa ay zero:

logb(1) = 0

Halimbawa, ang base two logarithm ng isa ay zero:

log2(1) = 0

Tingnan ang: log ng isa

Logarithm ng infinity

Ang limitasyon ng base b logarithm ng x, kapag ang x ay lumalapit sa infinity, ay katumbas ng infinity:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Tingnan ang: log ng infinity

Logarithm ng base

Ang base b logarithm ng b ay isa:

logb(b) = 1

Halimbawa, ang base two logarithm ng dalawa ay isa:

log2(2) = 1

Logarithm derivative

Kailan

f (x) = logb(x)

Pagkatapos ang derivative ng f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Tingnan ang: log derivative

integral ng Logarithm

Ang integral ng logarithm ng x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Halimbawa:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logarithm approximation

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Kumplikadong logarithm

Para sa complex number z:

z = reiθ = x + iy

Ang kumplikadong logarithm ay magiging (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Mga problema at sagot sa logarithm

Problema #1

Hanapin ang x para sa

log2(x) + log2(x-3) = 2

Solusyon:

Gamit ang panuntunan ng produkto:

log2(x∙(x-3)) = 2

Pagbabago ng logarithm form ayon sa kahulugan ng logarithm:

x∙(x-3) = 22

O kaya

x2-3x-4 = 0

Paglutas ng quadratic equation:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Dahil ang logarithm ay hindi tinukoy para sa mga negatibong numero, ang sagot ay:

x = 4

Problema #2

Hanapin ang x para sa

log3(x+2) - log3(x) = 2

Solusyon:

Gamit ang quotient rule:

log3((x+2) / x) = 2

Pagbabago ng logarithm form ayon sa kahulugan ng logarithm:

(x+2)/x = 32

O kaya

x+2 = 9x

O kaya

8x = 2

O kaya

x = 0.25

Graph ng log(x)

Ang log(x) ay hindi tinukoy para sa mga tunay na hindi positibong halaga ng x:

Talahanayan ng logarithms

x log 10 x log 2 x log e x
0 hindi natukoy hindi natukoy hindi natukoy
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0.0001 -4 -13.287712 -9.210340
0.001 -3 -9.965784 -6.907755
0.01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0.693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0.698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1.791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logarithm calculator ►

 

Tingnan din

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°