లాగరిథమ్ నియమాలు

సంఖ్య యొక్క బేస్ బి సంవర్గమానం అనేది సంఖ్యను పొందడానికిమనం ఆధారాన్ని పెంచాల్సిన ఘాతాంకం .

లాగరిథమ్ నిర్వచనం

bని y శక్తికి పెంచినప్పుడు సమానం x:

b y = x

అప్పుడు x యొక్క బేస్ b సంవర్గమానం yకి సమానం:

logb(x) = y

ఉదాహరణకు ఎప్పుడు:

24 = 16

అప్పుడు

log2(16) = 4

ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క విలోమ ఫంక్షన్ వలె లాగరిథమ్

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్,

y = logb(x)

ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క విలోమ ఫంక్షన్,

x = by

కాబట్టి మనం x (x>0) యొక్క సంవర్గమానం యొక్క ఘాతాంక విధిని గణిస్తే,

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

లేదా మేము x యొక్క ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క సంవర్గమానాన్ని గణిస్తే,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

సహజ సంవర్గమానం (ln)

సహజ సంవర్గమానం అనేది బేస్ ఇకి సంవర్గమానం:

ln(x) = loge(x)

e స్థిరాంకం సంఖ్యఅయినప్పుడు :

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...

లేదా

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\ఎడమ (1+ \కుడి x)^\frac{1}{x}

 

చూడండి: సహజ సంవర్గమానం

విలోమ సంవర్గమానం గణన

విలోమ సంవర్గమానం (లేదా యాంటీ లాగరిథం) బేస్ బిని లాగరిథమ్ yకి పెంచడం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

x = log-1(y) = b y

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ ప్రాథమిక రూపాన్ని కలిగి ఉంది:

f (x) = logb(x)

లాగరిథమ్ నియమాలు

నియమం పేరు నియమం
లాగరిథమ్ ఉత్పత్తి నియమం
 లాగ్ b ( x ∙ y ) = లాగ్ బి ( x ) + లాగ్ బి ( y )
సంవర్గమాన గణిత నియమం
 లాగ్ బి ( x / y ) = లాగ్ బి ( x ) - లాగ్ బి ( y )
లాగరిథమ్ పవర్ రూల్
 లాగ్ బి ( x y ) = y ∙ లాగ్ బి ( x )
లాగరిథమ్ బేస్ స్విచ్ నియమం
 లాగ్ బి ( సి ) = 1 / లాగ్ సి ( బి )
లాగరిథమ్ బేస్ మార్పు నియమం
 లాగ్ బి ( x ) = లాగ్ సి ( x ) / లాగ్ సి ( బి )
సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం
 f ( x ) = లాగ్ బి ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) )
సంవర్గమానం యొక్క సమగ్రం
 ∫ లాగ్ బి ( x ) dx = x ∙ ( లాగ్ బి ( x ) - 1 / ln ( బి ) ) + సి
ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం
 x ≤ 0 అయినప్పుడులాగ్ b ( x ) నిర్వచించబడలేదు
సంవర్గమానం 0
 లాగ్ b (0) నిర్వచించబడలేదు
\lim_{x\ to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
సంవర్గమానం 1
 లాగ్ బి (1) = 0
బేస్ యొక్క సంవర్గమానం
 లాగ్ బి ( బి ) = 1
అనంతం యొక్క సంవర్గమానం
 లిమ్ లాగ్ బి ( x ) = ∞, ఎప్పుడు x →∞

చూడండి: సంవర్గమాన నియమాలు

 

లాగరిథమ్ ఉత్పత్తి నియమం

x మరియు y యొక్క గుణకారం యొక్క సంవర్గమానం అనేది x యొక్క సంవర్గమానం మరియు y యొక్క సంవర్గమానం యొక్క మొత్తం.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

ఉదాహరణకి:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

సంవర్గమాన గణిత నియమం

x మరియు y విభజన యొక్క సంవర్గమానం అనేది x యొక్క సంవర్గమానం మరియు y యొక్క సంవర్గమానం యొక్క వ్యత్యాసం.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

ఉదాహరణకి:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

లాగరిథమ్ పవర్ రూల్

x యొక్క సంవర్గమానం y యొక్క శక్తికి పెంచబడుతుంది, ఇది x యొక్క లాగరిథమ్ కంటే y రెట్లు ఉంటుంది.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

ఉదాహరణకి:

log10(28) = 8∙ log10(2)

లాగరిథమ్ బేస్ స్విచ్ నియమం

c యొక్క బేస్ b సంవర్గమానం 1 b యొక్క బేస్ c లాగరిథమ్‌తో భాగించబడుతుంది.

logb(c) = 1 / logc(b)

ఉదాహరణకి:

log2(8) = 1 / log8(2)

లాగరిథమ్ బేస్ మార్పు నియమం

x యొక్క బేస్ b సంవర్గమానం x యొక్క బేస్ c సంవర్గమానం b యొక్క బేస్ c లాగరిథమ్‌తో భాగించబడుతుంది.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

ఉదాహరణకు, కాలిక్యులేటర్‌లో లాగ్ 2 (8)ని లెక్కించడానికి, మేము బేస్‌ను 10కి మార్చాలి:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

చూడండి: లాగ్ బేస్ మార్పు నియమం

ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం

x ప్రతికూలంగా లేదా సున్నాకి సమానంగా ఉన్నప్పుడు x<=0 నిర్వచించబడనప్పుడు x యొక్క బేస్ b వాస్తవ సంవర్గమానం:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

చూడండి: ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క లాగ్

సంవర్గమానం 0

సున్నా యొక్క బేస్ బి సంవర్గమానం నిర్వచించబడలేదు:

logb(0) is undefined

x యొక్క బేస్ b సంవర్గమానం యొక్క పరిమితి, x సున్నాకి చేరుకున్నప్పుడు, మైనస్ అనంతం:

\lim_{x\ to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

చూడండి: సున్నా యొక్క లాగ్

సంవర్గమానం 1

ఒకటి యొక్క బేస్ బి సంవర్గమానం సున్నా:

logb(1) = 0

ఉదాహరణకు, ఒకటి యొక్క రెండు సంవర్గమానం సున్నా:

log2(1) = 0

చూడండి: ఒకటి యొక్క లాగ్

అనంతం యొక్క సంవర్గమానం

x యొక్క బేస్ b సంవర్గమానం యొక్క పరిమితి, x అనంతాన్ని చేరుకున్నప్పుడు, అనంతానికి సమానం:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

చూడండి: అనంతం యొక్క లాగ్

బేస్ యొక్క సంవర్గమానం

b యొక్క బేస్ b సంవర్గమానం ఒకటి:

logb(b) = 1

ఉదాహరణకు, రెండు యొక్క బేస్ టూ లాగరిథమ్ ఒకటి:

log2(2) = 1

సంవర్గమానం ఉత్పన్నం

ఎప్పుడు

f (x) = logb(x)

అప్పుడు f(x) యొక్క ఉత్పన్నం:

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

చూడండి: లాగ్ డెరివేటివ్

సంవర్గమానం సమగ్రం

x యొక్క సంవర్గమానం యొక్క సమగ్రత:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

ఉదాహరణకి:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

సంవర్గమానం ఉజ్జాయింపు

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

సంక్లిష్ట సంవర్గమానం

సంక్లిష్ట సంఖ్య z కోసం:

z = reiθ = x + iy

సంక్లిష్ట సంవర్గమానం (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

లాగరిథమ్ సమస్యలు మరియు సమాధానాలు

సమస్య #1

కోసం xని కనుగొనండి

log2(x) + log2(x-3) = 2

పరిష్కారం:

ఉత్పత్తి నియమాన్ని ఉపయోగించడం:

log2(x∙(x-3)) = 2

లాగరిథమ్ నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్ రూపాన్ని మార్చడం:

x∙(x-3) = 22

లేదా

x2-3x-4 = 0

వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

ప్రతికూల సంఖ్యల కోసం సంవర్గమానం నిర్వచించబడనందున, సమాధానం:

x = 4

సమస్య #2

కోసం xని కనుగొనండి

log3(x+2) - log3(x) = 2

పరిష్కారం:

గుణాత్మక నియమాన్ని ఉపయోగించడం:

log3((x+2) / x) = 2

లాగరిథమ్ నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్ రూపాన్ని మార్చడం:

(x+2)/x = 32

లేదా

x+2 = 9x

లేదా

8x = 2

లేదా

x = 0.25

లాగ్ (x) యొక్క గ్రాఫ్

x యొక్క నిజమైన ధనాత్మక విలువలకు log(x) నిర్వచించబడలేదు:

సంవర్గమాన పట్టిక

x లాగ్ 10 x లాగ్ 2 x లాగ్ ఇ x
0 నిర్వచించబడలేదు నిర్వచించబడలేదు నిర్వచించబడలేదు
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0.0001 -4 -13.287712 -9.210340
0.001 -3 -9.965784 -6.907755
0.01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0.301030 1 0.693147
3 0.477121 1.584963 1.098612
4 0.602060 2 1.386294
5 0.698970 2.321928 1.609438
6 0.778151 2.584963 1.791759
7 0.845098 2.807355 1.945910
8 0.903090 3 2.079442
9 0.954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

లాగరిథమ్ కాలిక్యులేటర్ ►

 

ఇది కూడ చూడు

Advertising

బీజగణితం
°• CmtoInchesConvert.com •°