標準偏差

確率と統計では、確率変数の標準偏差は、平均値からの確率変数の平均距離です。

これは、確率変数が平均値の近くでどのように分布しているかを表します。小さな標準偏差は、確率変数が平均値の近くに分布していることを示します。大きな標準偏差は、確率変数が平均値から離れて分布していることを示します。

標準偏差は確率変数 X の分散の平方根で、平均値は μ です。

$\sigma =std(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{E(( X-\mu)^2}$

標準偏差の定義から得ることができます

$\sigma =std(X)=\sqrt{E( X^2 )-\mu^2}$

平均値 μ と確率密度関数 f(x) を持つ連続確率変数の場合:

$\sigma=std(X)=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\: f(x)dx}$

また

$\sigma =std(X)=\sqrt{\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x^2\: f(x)dx \right ]-\mu^2}$

平均値 μ と確率質量関数 P(x) を持つ離散確率変数 X の場合:

$\sigma=std(X)=\sqrt{\sum_{i}^{}(x_i-\mu_X)^2P_X(x_i)}$

また

$\sigma =std(X)=\sqrt{\left [ \sum_{i}^{}x_i^2P(x_i) \right ]-\mu^2}$

こちらもご覧ください