確率分布

確率と統計では、分布は確率変数の特性であり、各値における確率変数の確率を記述します。

各分布には、特定の確率密度関数と確率分布関数があります。

確率分布は無数にありますが、いくつかの一般的な分布が使用されています。

確率分布は、累積分布関数 F(x) によって記述されます。

これは、確率変数 X が x 以下の値を取得する確率です。

F(x) = P(X ≤ x)

累積分布関数 F(x) は、連続確率変数 X の確率密度関数 f(u) の積分によって計算されます。

累積分布関数 F(x) は、離散確率変数 X の確率質量関数 P(u) の合計によって計算されます。

連続分布は、連続確率変数の分布です。

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ディストリビューション名	分配記号	確率密度関数 (pdf)	平均	分散
		f _X ( x )	μ = E ( X )	σ ² = Var ( X )
ノーマル/ガウス	X ~ N (μ,σ ² )	$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	μ	σ ²
ユニフォーム	X ~ U ( a , b )	$\begin{Bmatrix}\frac{1}{ba} & ,a\leq x\leq b\\ & \\0 & ,そうでなければ\end{matrix}$		$\frac{(ba)^2}{12}$
指数関数的	X ~ exp (λ)	$\begin{Bmatrix}\lambda e^{-\lambda x} & x\geq 0\\ 0 & x<0\end{matrix}$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
ガンマ	X ~ガンマ( c , λ)	$\frac{\lambda ^cx^{c-1}e^{-\lambda x}}{\ガンマ (c)}$ x > 0、c > 0、λ > 0	$\frac{c}{\lambda }$	$\frac{c}{\ラムダ^2}$
カイ二乗	X ~ χ ² ( k )	$\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\ガンマ (k/2)}$	k	2k _
ウィシャート
ふ	X ~ F ( k ₁, k ₂ )
ベータ
ワイブル
対数正規	X ~ LN (μ,σ ² )
レイリー
コーシー
ディリクレ
ラプラス
徴収
米
学生のt

離散分布は、離散確率変数の分布です。

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ディストリビューション名	分配記号	確率質量関数 (pmf)		平均	分散
		f _x ( k ) = P ( X = k ) k = 0,1,2,...		E ( x )	変数( x )
二項	X ~ビン( n , p )	$\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{nk}$		np	np (1- p )
ポアソン	X ~ポアソン(λ)		λ≧0	λ	λ
ユニフォーム	X ~ U ( a,b )	$\begin{Bmatrix}\frac{1}{b-a+1} & ,a\leq k\leq b\\ & \\0 & ,そうでなければ\end{matrix}$		$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a+1)^{2}-1}{12}$
幾何学模様	X ~ Geom ( p )	$p(1-p)^{k}$		$\frac{1-p}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
超幾何学	X ~ HG ( N、K、n )		N = 0,1,2,... K = 0,1,.., N n = 0,1,..., N	$\frac{nK}{N}$	$\frac{nK(NK)(Nn)}{N^2(N-1)}$
ベルヌーイ	X ~ベルン( p )	$\begin{Bmatrix}(1-p) & ,k=0\\ p & ,k=1\\ 0 & ,そうでなければ\end{matrix}$		p	p (1- p )

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