Distribuzione di probabilità

In probabilità e statistica la distribuzione è una caratteristica di una variabile casuale, descrive la probabilità della variabile casuale in ciascun valore.

Ogni distribuzione ha una certa funzione di densità di probabilità e una funzione di distribuzione di probabilità.

Sebbene esista un numero indefinito di distribuzioni di probabilità, esistono diverse distribuzioni comuni in uso.

Funzione di distribuzione cumulativa

La distribuzione di probabilità è descritta dalla funzione di distribuzione cumulativa F(x),

che è la probabilità della variabile casuale X di ottenere un valore minore o uguale a x:

F(x) = P(X ≤ x)

Distribuzione continua

La funzione di distribuzione cumulativa F(x) è calcolata integrando la funzione di densità di probabilità f(u) della variabile casuale continua X.

Distribuzione discreta

La funzione di distribuzione cumulativa F(x) è calcolata sommando la funzione di massa di probabilità P(u) della variabile casuale discreta X.

Tabella delle distribuzioni continue

La distribuzione continua è la distribuzione di una variabile casuale continua.

Esempio di distribuzione continua

...

Tabella delle distribuzioni continue

Nome della distribuzione Simbolo di distribuzione Funzione densità di probabilità (pdf) Significare Varianza
   

f X ( x )

m = E ( X )

σ 2 = Var ( X )
Normale/gaussiano

X ~ N (μ,σ 2 )

 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} μ σ 2
Uniforme

X ~ U ( un , b )

 \begin{Bmatrix}\frac{1}{ba} & ,a\leq x\leq b\\ & \\0 & ,altrimenti\end{matrix} \frac{(ba)^2}{12}
Esponenziale X ~ esp (λ) \begin{Bmatrice}\lambda e^{-\lambda x} & x\geq 0\\ 0 & x<0\end{matrice} \frac{1}{\lambda} \frac{1}{\lambda^2}
Gamma X ~ gamma ( c , λ) \frac{\lambda ^cx^{c-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (c)}

x > 0, c > 0, λ > 0

 \frac{c}{\lambda } \frac{c}{\lambda ^2}
Chi quadrato

X ~ χ 2 ( k )

 \frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}

K

2 k
Wishart        
F

X ~ F ( K 1 , K 2 )

      
Beta        
Weibull        
Log-normale

X ~ LN (μ,σ 2 )

      
Rayleigh        
Cauchy        
Dirichlet        
Laplace        
Prelievo        
Riso        
Studente t        

Tabella delle distribuzioni discrete

La distribuzione discreta è la distribuzione di una variabile casuale discreta.

Esempio di distribuzione discreta

...

Tabella delle distribuzioni discrete

Nome della distribuzione Simbolo di distribuzione Funzione di massa di probabilità (pmf) Significare Varianza
    f X ( K ) = P ( X = K )

k = 0,1,2,...

 MI ( x ) Var ( x )
Binomiale

X ~ Contenitore ( n , p )

 \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{nk}

np

np (1 - p )
Poison

X ~ Poisson (λ)

λ ≥ 0

λ

λ
Uniforme

X ~ U ( a,b )

 \begin{Bmatrice}\frac{1}{b-a+1} & ,a\leq k\leq b\\ & \\0 & ,altrimenti\end{matrice} \frac{a+b}{2} \frac{(b-a+1)^{2}-1}{12}
Geometrico

X ~ Geom ( p )

 p(1-p)^{k}

\frac{1-p}{p}

\frac{1-p}{p^2}
Ipergeometrico

X ~ HG ( N , K , n )

N = 0,1,2,...

K = 0,1,.., N

n = 0,1,..., n

 \frac{nK}{N} \frac{nK(NK)(Nn)}{N^2(N-1)}
Bernoulli

X ~ Berna ( p )

 \begin{Bmatrice}(1-p) & ,k=0\\ p & ,k=1\\ 0 & ,altrimenti\end{matrice}

P

p (1 - p )

 

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