Logaritma reglur

Grunn b logaritmi talna er veldisvísirinn sem við þurfum að hækka grunninn til að fá töluna.

Logaritma skilgreining

Þegar b er hækkaður í veldi y er x jafnt:

b y = x

Þá er grunnurinn b logaritmi x jafn y:

logb(x) = y

Til dæmis þegar:

24 = 16

Þá

log2(16) = 4

Logaritmi sem andhverft fall veldisfalls

Logaritmíska fallið,

y = logb(x)

er andhverfa fall veldisfallsins,

x = by

Þannig að ef við reiknum út veldisfall lógaritma x (x>0),

f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Eða ef við reiknum út lógaritma veldisfallsfalls x,

f -1(f (x)) = logb(bx) = x

Náttúrulegur logaritmi (ln)

Náttúrulegur logaritmi er logaritmi við grunninn e:

ln(x) = loge(x)

Þegar e fasti er talan:

e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...

eða

e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}

 

Sjá: Náttúrulegur logaritmi

Andhverfur logaritma útreikningur

Andhverfur logaritminn (eða andlogaritmi) er reiknaður út með því að hækka grunninn b upp í logaritminn y:

x = log-1(y) = b y

Logarithmic fall

Logaritmíska fallið hefur grunnformið:

f (x) = logb(x)

Logaritma reglur

Regluheiti Regla
Logaritma vöruregla
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Logarithm quotient regla
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Logaritmaveldisregla
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Logaritma grunnrofa regla
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Logaritma grunnbreytingarregla
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Afleiða lógaritma
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) )
Sameining lógaritma
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C
Logaritmi neikvæðrar tölu
 log b ( x ) er óskilgreint þegar x ≤ 0
Logaritmi af 0
 log b (0) er óskilgreint
\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty
Logaritmi 1
 log b (1) = 0
Logaritmi grunnsins
 log b ( b ) = 1
Logaritmi óendanleikans
 lim log b ( x ) = ∞, þegar x →∞

Sjá: Logaritmareglur

 

Logaritma vöruregla

Logaritmi margföldunar x og y er summa logaritma x og lógaritma y.

logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)

Til dæmis:

log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)

Logarithm quotient regla

Logaritmi deilingar x og y er munurinn á logaritma x og logaritma y.

logb(x / y) = logb(x) - logb(y)

Til dæmis:

log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)

Logaritmaveldisregla

Logaritmi x hækkaður í veldi y er y sinnum logaritmi x.

logb(x y) = y ∙ logb(x)

Til dæmis:

log10(28) = 8∙ log10(2)

Logaritma grunnrofa regla

Grunn b logaritmi c er 1 deilt með grunn c logaritma b.

logb(c) = 1 / logc(b)

Til dæmis:

log2(8) = 1 / log8(2)

Logaritma grunnbreytingarregla

Basal b logaritmi x er grunn c logaritmi af x deilt með grunn c logaritmi b.

logb(x) = logc(x) / logc(b)

Til dæmis, til að reikna út log 2 (8) í reiknivél, þurfum við að breyta grunninum í 10:

log2(8) = log10(8) / log10(2)

Sjá: breytingareglu um loggrunn

Logaritmi neikvæðrar tölu

Grunnurinn b raunlogaritmi x þegar x<=0 er óskilgreindur þegar x er neikvætt eða jafnt og núlli:

logb(x) is undefined when x ≤ 0

Sjá: skrá yfir neikvæða tölu

Logaritmi af 0

Grunn b logaritminn af núll er óskilgreindur:

logb(0) is undefined

Mörkin fyrir grunn b logaritma x, þegar x nálgast núll, eru mínus óendanlegt:

\lim_{x\to 0^+}\textup{log}_b(x)=-\infty

Sjá: log af núll

Logaritmi 1

Grunnur b logaritmi eins er núll:

logb(1) = 0

Til dæmis, logaritmi tveggja grunna af einum er núll:

log2(1) = 0

Sjá: skrá yfir einn

Logaritmi óendanleikans

Mörkin fyrir grunn b logaritma x, þegar x nálgast óendanleikann, eru jöfn óendanleika:

lim logb(x) = ∞, when x→∞

Sjá: log of infinity

Logaritmi grunnsins

Grunn b logaritmi b er einn:

logb(b) = 1

Til dæmis er grunn tvö logaritminn af tveimur einn:

log2(2) = 1

Logaritma afleiða

Hvenær

f (x) = logb(x)

Þá er afleiðan af f(x):

f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )

Sjá: logafleiða

Logaritma heild

Heildarfall lógaritma x:

∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C

Til dæmis:

∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C

Logaritma nálgun

log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,

Flókinn lógaritmi

Fyrir flókna tölu z:

z = reiθ = x + iy

Flóki lógaritminn verður (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))

Logarithma vandamál og svör

Vandamál #1

Finndu x fyrir

log2(x) + log2(x-3) = 2

Lausn:

Með því að nota vöruregluna:

log2(x∙(x-3)) = 2

Breyting á logaritmaforminu í samræmi við logaritmaskilgreininguna:

x∙(x-3) = 22

Eða

x2-3x-4 = 0

Að leysa annars stigs jöfnu:

x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1

Þar sem lógaritminn er ekki skilgreindur fyrir neikvæðar tölur er svarið:

x = 4

Vandamál #2

Finndu x fyrir

log3(x+2) - log3(x) = 2

Lausn:

Með því að nota hlutfallsregluna:

log3((x+2) / x) = 2

Breyting á logaritmaforminu í samræmi við logaritmaskilgreininguna:

(x+2)/x = 32

Eða

x+2 = 9x

Eða

8x = 2

Eða

x = 0.25

Línurit af log(x)

log(x) er ekki skilgreint fyrir raunveruleg ójákvæð gildi fyrir x:

Logaritma tafla

x log 10 x log 2 x log e x
0 óskilgreint óskilgreint óskilgreint
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9.965784 -6.907755
0,01 -2 -6.643856 -4.605170
0.1 -1 -3.321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1.584963 1.098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3.169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3.401197
40 1.602060 5.321928 3,688879
50 1.698970 5.643856 3.912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1,903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2.698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6.551080
800 2.903090 9.643856 6.684612
900 2.954243 9.813781 6.802395
1000 3 9.965784 6.907755
10000 4 13.287712 9.210340

 

Logaritma reiknivél ►

 

Sjá einnig

Advertising

ALGEBRA
°• CmtoInchesConvert.com •°