e fasti

e-fasti eða Euler-tala er stærðfræðilegur fasti. Fasti e er raun- og óræð tala.

e = 2,718281828459...

Skilgreining á e
Eiginleikar e
Grunnur og logaritmi
Veldisfall
Uppskrift Euler

Skilgreining á e

e fastinn er skilgreindur sem mörkin:

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...$

Aðrar skilgreiningar

e fastinn er skilgreindur sem mörkin:

$e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}$

e fastinn er skilgreindur sem óendanleg röð:

$e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{ 2!}+\frac{1}{3!}+...$

Eiginleikar e

Gagnkvæmt e

Gagnkvæmt e er mörkin:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=\frac{1}{e}$

Afleiður e

Afleiða veldisfallsins er veldisfallið:

(e^x)' = e^x

Afleiðan af náttúrulegu logaritmafallinu er gagnkvæma fallið:

(log_ex)' = (ln x)' = 1/x

Heildarföll af e

Óákveðin heild veldisfallsins e ^x er veldisfallið e ^x .

∫ e^xdx = e^x+c

Óákveðin heild af náttúrulegu lógaritmafallinu log _e x er:

∫ log_ex dx = ∫ lnx dx = x ln x - x +c

Ákveðinn heild frá 1 til e í gagnkvæmu fallinu 1/x er 1:

$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\: dx=1$

Grunnur og logaritmi

Náttúrulegur logaritmi tölunnar x er skilgreindur sem grunnur e logaritmi x:

ln x = log_ex

Veldisfall

Veldisfallið er skilgreint sem:

f (x) = exp(x) = e^x

Uppskrift Euler

Flókin tala e ^iθ hefur auðkennið:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

i er ímynduð eining (kvaðratrótin af -1).

θ er hvaða rauntala sem er.