不可缺少的

积分是求导的逆运算。

函数的积分是函数图形下的面积。

不定积分定义

什么时候 dF(x)/dx = f(x) => 积分(f(x)*dx) = F(x) + c

不定积分性质

积分(f(x)+g(x))*dx = 积分(f(x)*dx) + 积分(g(x)*dx)

积分（a*f（x）*dx）=a*积分（f（x）*dx）

积分(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

积分(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

积分(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

积分（df（x）/ dx * dx）= f（x）

积分变量的变化

什么时候 和x = g(t)dx = g'(t)*dt

积分（f（x）* dx）=积分（f（g（t））* g'（t）* dt）

分部整合

积分(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - 积分(f'(x)*g(x)*dx)

积分表

积分（f（x）* dx = F（x）+ c

积分（a*dx）=a*x+c

积分(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c ，当 a<>-1

积分(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

积分(e^x*dx) = e^x + c

积分(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

积分(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

积分(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

积分(cos(x)*dx) = sin(x) + c

积分(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

积分(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

积分(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

积分(arctan(x)*dx) = x*arctan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

积分(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

积分(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

积分(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

积分(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

积分(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + c

积分(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

积分(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

积分（cosh（x）* dx）= sinh（x）+ c

积分（tanh（x）* dx）= ln（cosh（x））+ c

 

定积分定义

积分(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, sum(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

什么时候x0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

定积分计算

当 ,

 dF(x)/dx = f(x)  和

积分(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

定积分性质

积分(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = 积分(a..b, f(x)*dx) + 积分(a..b, g(x)*dx )

积分（a..b，c*f（x）*dx）= c*积分（a..b，f（x）*dx）

积分(a..b, f(x)*dx) = - 积分(b..a, f(x)*dx)

积分(a..b, f(x)*dx) = 积分(a..c, f(x)*dx) + 积分(c..b, f(x)*dx)

abs(积分(a..b, f(x)*dx) ) <=积分(a..b, abs(f(x))*dx)

最小值（f（x））*（ba）<=积分（a..b，f（x）*dx）<=最大值（f（x））*（ba） 什么时候[a,b] 的 x 成员

积分变量的变化

当 , , ,x = g(t)dx = g'(t)*dtg(alpha) = 一个g(β) = b

积分(a..b, f(x)*dx) = 积分(alpha..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)

分部整合

积分(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = 积分(a..b, f(x)*g(x)*dx) - 积分(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

中值定理

当f ( x ) 连续时，有一个点 所以 c 是 [a,b] 的成员

积分（a..b，f（x）* dx）= f（c）*（ba）   

定积分的梯形逼近

积分(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

伽马函数

伽玛（x）=积分（0..inf，t^（x-1）*e^（-t）*dt

Gamma 函数对于x> 0是收敛的。

伽马函数属性

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

贝塔函数

B(x,y) = 积分(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

Beta函数和Gamma函数关系

B(x,y) = 伽马(x)*伽马(y)/伽马(x+y)

 

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