衍生规则
衍生规则和法律。函数表的导数。
导数定义
函数的导数是函数值f(x)在x+Δx和x点的差值与Δx的比值，当Δx无穷小时。导数是 x 点切线的函数斜率或斜率。
二阶导数
二阶导数由下式给出：
或者简单地导出一阶导数：
N次导数
n次导数是通过对f(x)求n次来计算的。
n次导数等于第(n-1)次导数的导数：
f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'
例子：
求出的四阶导数
f ( x ) = 2 x 5
f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x
函数图上的导数
函数的导数是切线的斜率。
衍生规则
| 导数求和法则 |
( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x) |
| 衍生产品规则 |
( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x) |
| 导商法则 |
 |
| 衍生链规则 |
f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x) |
导数求和法则
当a和b为常数时。
( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
例子：
求导数：
3 x 2 + 4 x。
根据求和法则：
a = 3, b = 4
f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x
f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1
(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4
衍生产品规则
( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
导商法则
衍生链规则
f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)
这个规则可以用拉格朗日符号更好地理解：
函数线性逼近
对于较小的 Δx，当我们知道 f(x 0 ) 和 f ' (x 0 ) 时，我们可以获得 f(x 0 +Δx)的近似值：
f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx
函数表的导数
| 函数名称 | 功能 | 衍生物 |
|---|---|---|
|
f (x) |
f '( x ) | |
| 持续的 |
const |
0 |
| 线性的 |
x |
1 |
| 力量 |
x a |
a x a-1 |
| 指数型 |
e x |
e x |
| 指数型 |
a x |
a x ln a |
| 自然对数 |
ln(x) |
|
| 对数 |
logb(x) |
|
| 正弦波 |
sin x |
cos x |
| 余弦 |
cos x |
-sin x |
| 切线 |
tan x |
|
| 反正弦 |
arcsin x |
|
| 反余弦 |
arccos x |
|
| 反正切 |
arctan x |
 |
| 双曲正弦 |
sinh x |
cosh x |
| 双曲余弦 |
cosh x |
sinh x |
| 双曲正切 |
tanh x |
|
| 反双曲正弦 |
sinh-1 x |
|
| 反双曲余弦 |
cosh-1 x |
|
| 反双曲正切 |
tanh-1 x |
|
衍生例子
示例#1
f (x) = x3+5x2+x+8
f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1
例子#2
f (x) = sin(3x2)
应用链式法则时：
f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x
二阶导数检验
当函数的一阶导数在点 x 0处为零时。
f '(x0) = 0
那么 x 0点的二阶导数f''(x 0 ) 可以表示该点的类型：
|
f ''(x0) > 0 |
局部最小值 |
|
f ''(x0) < 0 |
局部最大值 |
|
f ''(x0) = 0 |
未定 |