卷积

卷积是 f(τ) 与反转函数 g(t-τ) 的相关函数。

卷积运算符是星号*。

f(t) 和 g(t) 的卷积等于 f(τ) 乘以 f(t-τ) 的积分：

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

2个离散函数的卷积定义为：

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

二维离散卷积通常用于图像处理。

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

我们可以通过与脉冲响应 h(n) 卷积对离散输入信号 x(n) 进行滤波，得到输出信号 y(n)。

y(n) = x(n) * h(n)

2 个函数相乘的傅里叶变换等于每个函数的傅里叶变换的卷积：

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

2 个函数的卷积的傅里叶变换等于每个函数的傅里叶变换的乘积：

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

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