拉普拉斯变换

拉普拉斯变换函数
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换属性
拉普拉斯变换示例

拉普拉斯变换通过从零到无穷大的积分将时域函数转换为 s 域函数

时域函数的乘以e ^-st。

拉普拉斯变换用于快速找到微分方程和积分的解。

时域中的推导转换为 s 域中的 s 乘法。

时域中的积分转换为 s 域中的除以 s。

拉普拉斯变换函数

拉普拉斯变换是用L {} 运算符定义的：

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

逆拉普拉斯变换

可以直接计算拉普拉斯逆变换。

通常逆变换是从变换表中给出的。

拉普拉斯变换表

函数名称	时域函数	拉普拉斯变换
函数名称	f (t)	F(s) = L{f (t)}
持续的	1个	$\frac{1}{s}$
线性的	吨	$\frac{1}{s^2}$
力量	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
力量	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
指数	e^at	$\frac{1}{sa}$
正弦波	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
余弦	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
双曲正弦	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
双曲余弦	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
增长正弦	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
增长余弦	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
衰减正弦	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
衰减余弦	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
三角函数	δ(t)	1
延迟增量	δ(t-a)	e^-as

拉普拉斯变换属性

物业名称	时域函数	拉普拉斯变换	评论
	f (t)	F(s)
线性度	af ( t )+ bg ( t )	aF (小号) + bG (小号)	a , b是常量
规模变化	f (在)	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	一个> 0
转移	e ^{- 在} f ( t )	F (小号+一个)
延迟	f (大)	e ^-作为F ( s )
推导	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N次微分	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
力量	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
一体化	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
互惠的	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
卷积	f ( t ) * g ( t )	F (小号) ⋅ G (小号)	* 是卷积运算符
周期函数	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

拉普拉斯变换示例

示例#1

找到 f(t) 的变换：

f (t) = 3t + 2t²

解决方案：

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

例子#2

找到 F(s) 的逆变换：

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

解决方案：

为了找到逆变换，我们需要将 s 域函数更改为更简单的形式：

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

为了找到 a 和 b，我们得到 2 个方程式 - 一个是 s 系数，另一个是其余的：

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

现在可以使用指数函数的转换表轻松转换 F(s)：

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t