Інтеграл

Інтегрування є операцією, зворотною до виведення.

Інтеграл функції – це площа під графіком функції.

Невизначений інтеграл Означення

Коли dF(x)/dx = f(x) => інтеграл(f(x)*dx) = F(x) + c

Властивості невизначеного інтеграла

інтеграл(f(x)+g(x))*dx = інтеграл(f(x)*dx) + інтеграл(g(x)*dx)

інтеграл(a*f(x)*dx) = a*інтеграл(f(x)*dx)

інтеграл(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

інтеграл(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

інтеграл(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

інтеграл(df(x)/dx * dx) = f(x)

Зміна змінної інтеграції

Коли іx = g(t)dx = g'(t)*dt

інтеграл(f(x)*dx) = інтеграл(f(g(t))*g'(t)*dt)

Інтеграція по частинах

інтеграл(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - інтеграл(f'(x)*g(x)*dx)

Таблиця інтегралів

інтеграл(f(x)*dx = F(x) + c

інтеграл(a*dx) = a*x+c

інтеграл(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c , коли a<>-1

інтеграл(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

інтеграл(e^x*dx) = e^x + c

інтеграл(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

інтеграл(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

інтеграл(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

інтеграл(cos(x)*dx) = sin(x) + c

інтеграл(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

інтеграл(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

інтеграл(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

інтеграл(arctan(x)*dx) = x*arctan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

інтеграл(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

інтеграл(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

інтеграл(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

інтеграл(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

інтеграл(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*arctan(x/a) + c

інтеграл(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

інтеграл(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

інтеграл(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

інтеграл(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

Певний інтеграл Означення

integral(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, sum(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

Колиx0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

Обчислення певного інтеграла

Коли ,

 dF(x)/dx = f(x)  і

інтеграл(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

Властивості певного інтеграла

інтеграл(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = інтеграл(a..b, f(x)*dx) + інтеграл(a..b, g(x)*dx )

інтеграл(a..b, c*f(x)*dx) = c*інтеграл(a..b, f(x)*dx)

інтеграл(a..b, f(x)*dx) = - інтеграл(b..a, f(x)*dx)

інтеграл(a..b, f(x)*dx) = інтеграл(a..c, f(x)*dx) + інтеграл(c..b, f(x)*dx)

abs( інтеграл(a..b, f(x)*dx) ) <= інтеграл(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= інтеграл(a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(ba) колиx член [a,b]

Зміна змінної інтеграції

Коли , , ,x = g(t)dx = g'(t)*dtg(альфа) = ag(бета) = b

інтеграл(a..b, f(x)*dx) = інтеграл(альфа..бета, f(g(t))*g'(t)*dt)

Інтеграція по частинах

інтеграл(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = інтеграл(a..b, f(x)*g(x)*dx) - інтеграл(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

Теорема про середнє значення

Коли f ( x ) неперервна, існує точка так c є членом [a,b]

інтеграл(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

Трапецієподібна апроксимація визначеного інтеграла

інтеграл(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

Гамма-функція

гамма(x) = інтеграл(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

Гамма-функція є збіжною для x> 0 .

Властивості гамма-функції

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

Бета-функція

B(x,y) = інтеграл(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

Співвідношення бета-функції та гамма-функції

B(x,y) = Гамма(x)*Гамма(y)/Гамма(x+y)

 

Advertising

 

 

ЧИСЛЕННЯ
°• CmtoInchesConvert.com •°