Правила похідних

Похідні правила і закони.Таблиця похідних функцій.

Похідне визначення

Похідна функції — це відношення різниці значення функції f(x) у точках x+Δx і x з Δx, коли Δx нескінченно мало.Похідна — це нахил функції або нахил дотичної лінії в точці x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Друга похідна

Друга похідна визначається як:

Або просто виведіть першу похідну:

f''(x)=(f'(x))'

N-та похідна

n - та похідна обчислюється виведенням f(x) n разів.

Похідна по n дорівнює похідній похідної (n-1):

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

приклад:

Знайдіть четверту похідну від

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Похідна за графіком функції

Похідною функції є нахил дотичної прямої.

Правила похідних

Правило похідної суми

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Правило похідного добутку

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Правило частки похідної \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Правило ланцюга похідних

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Правило похідної суми

Коли a і b константи.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

приклад:

Знайдіть похідну:

3 х 2 + 4 х.

Відповідно до правила суми:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Правило похідного добутку

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Правило частки похідної

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Правило ланцюга похідних

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Це правило можна краще зрозуміти за допомогою нотації Лагранжа:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Функція лінійної апроксимації

Для малих Δx ми можемо отримати наближення до f(x 0 +Δx), коли знаємо f(x 0 ) і f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Таблиця похідних функцій

Назва функції функція Похідна

f (x)

 f '( x )
Постійний

const

0
Лінійний

x

1
потужність

x a

a x a-1
Експоненціальний

e x

e x
Експоненціальний

a x

a x ln a
Натуральний логарифм

ln(x)

Логарифм

logb(x)

синус

sin x

cos x
Косинус

cos x

-sin x
Дотична

tan x

Арксинус

arcsin x

Аркосинус

arccos x

Арктангенс

arctan x
Гіперболічний синус

sinh x

cosh x
Гіперболічний косинус

cosh x

sinh x
Гіперболічний тангенс

tanh x

Гіперболічний зворотний синус

sinh-1 x

Гіперболічний зворотний косинус

cosh-1 x

Обернений гіперболічний тангенс

tanh-1 x

Похідні приклади

Приклад №1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Приклад №2

f (x) = sin(3x2)

При застосуванні правила ланцюга:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Тест другої похідної

Коли перша похідна функції дорівнює нулю в точці x 0 .

f '(x0) = 0

Тоді друга похідна в точці x 0 , f''(x 0 ), може вказувати тип цієї точки:

 

f ''(x0) > 0

 локальний мінімум

f ''(x0) < 0

 локальний максимум

f ''(x0) = 0

 невизначений

 

Дивись також

Advertising

ЧИСЛЕННЯ
°• CmtoInchesConvert.com •°