Перетворення Лапласа

Функція перетворення Лапласа
Таблиця перетворення Лапласа
Властивості перетворення Лапласа
Приклади перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа перетворює функцію часової області на функцію s-області шляхом інтегрування від нуля до нескінченності

функції часової області, помноженої на e ^-st .

Перетворення Лапласа використовується для швидкого знаходження розв’язків диференціальних рівнянь та інтегралів.

Виведення в часовій області перетворюється на множення на s в s-області.

Інтегрування у часовій області перетворюється на ділення на s у s-області.

Функція перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа визначається оператором L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Зворотне перетворення Лапласа

Зворотне перетворення Лапласа можна обчислити безпосередньо.

Зазвичай зворотне перетворення дається з таблиці перетворень.

Таблиця перетворення Лапласа

Назва функції	Функція часової області	Перетворення Лапласа
Назва функції	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Постійний	1	$\frac{1}{s}$
Лінійний	t	$\frac{1}{s^2}$
потужність	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
потужність	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Експонента	e^at	$\frac{1}{sa}$
синус	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Косинус	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Гіперболічний синус	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Гіперболічний косинус	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Зростаючий синус	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Зростаючий косинус	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Затухаючий синус	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Спадає косинус	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Дельта-функція	δ(t)	1
Запізніла дельта	δ(t-a)	e^-as

Властивості перетворення Лапласа

Назва власності	Функція часової області	Перетворення Лапласа	коментар
	f (t)	F(s)
Лінійність	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b постійні
Зміна масштабу	f ( at )	$\frac{1}{a}F\ліворуч ( \frac{s}{a} \праворуч )$	a >0
Shift	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Затримка	f ( ta )	e ^{- як} F ( s )
Виведення	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-е виведення	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
потужність	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Інтеграція	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Взаємний	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
згортка	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* — оператор згортки
Періодична функція	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Приклади перетворення Лапласа

Приклад №1

Знайдіть перетворення f(t):

f (t) = 3t + 2t²

рішення:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Приклад №2

Знайдіть обернене перетворення F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

рішення:

Щоб знайти зворотне перетворення, нам потрібно змінити доменну функцію s на простіший вигляд:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Щоб знайти a і b, ми отримуємо 2 рівняння - одне з коефіцієнтів s і друге з решти:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Тепер F(s) можна легко перетворити за допомогою таблиці перетворень для експонентної функції:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t