อินทิกรัล

การรวมเป็นการดำเนินการย้อนกลับของการสืบมา

อินทิกรัลของฟังก์ชันคือพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน

คำจำกัดความอินทิกรัลไม่ จำกัด

เมื่อไร dF(x)/dx = f(x) => อินทิกรัล(f(x)*dx) = F(x) + c

คุณสมบัติอินทิกรัลไม่แน่นอน

อินทิกรัล(f(x)+g(x))*dx = อินทิกรัล(f(x)*dx) + อินทิกรัล(g(x)*dx)

อินทิกรัล(a*f(x)*dx) = a*อินทิกรัล(f(x)*dx)

อินทิกรัล(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

อินทิกรัล(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

อินทิกรัล(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

อินทิกรัล(df(x)/dx * dx) = f(x)

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรการรวม

เมื่อ และx = ก.(เสื้อ)dx = g'(t)*dt

อินทิกรัล(f(x)*dx) = อินทิกรัล(f(g(t))*g'(t)*dt)

การบูรณาการตามส่วนต่างๆ

อินทิกรัล(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - อินทิกรัล(f'(x)*g(x)*dx)

ตารางปริพันธ์

อินทิกรัล(f(x)*dx = F(x) + c

อินทิกรัล(a*dx) = a*x+c

อินทิกรัล(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c เมื่อ a<>-1

อินทิกรัล(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

อินทิกรัล(e^x*dx) = e^x + c

อินทิกรัล(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

อินทิกรัล(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

อินทิกรัล(บาป(x)*dx) = -cos(x) + c

อินทิกรัล(cos(x)*dx) = บาป(x) + c

อินทิกรัล(สีแทน(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

อินทิกรัล(อาร์คซิน(x)*dx) = x*อาร์คซิน(x) + sqrt(1-x^2) + c

อินทิกรัล(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

อินทิกรัล(อาร์คแทน(x)*dx) = x*อาร์คแทน(x) - 1/2*ln(1+x^2) + ค

อินทิกรัล(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

อินทิกรัล(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = อาร์คซิน(x/a) + c

อินทิกรัล(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

อินทิกรัล(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

อินทิกรัล(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*อาร์คแทน(x/a) + c

อินทิกรัล(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

อินทิกรัล(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

อินทิกรัล(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

อินทิกรัล(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

คำจำกัดความอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, ผลรวม(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

เมื่อไรx0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

การคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน

เมื่อ ,

 dF(x)/dx = ฉ(x)  และ

อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

คุณสมบัติอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัล(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx) + อินทิกรัล(a.b, g(x)*dx )

อินทิกรัล(a..b, c*f(x)*dx) = c*อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx)

อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx) = - อินทิกรัล(b..a, f(x)*dx)

อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx) = อินทิกรัล(a..c, f(x)*dx) + อินทิกรัล(c..b, f(x)*dx)

abs( อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx) ) <= อินทิกรัล(a..b, abs(f(x))*dx)

นาที(f(x))*(ba) <= อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx) <= สูงสุด(f(x))*(ba) เมื่อไรสมาชิก x ของ [a,b]

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรการรวม

เมื่อ , , ,x = ก.(เสื้อ)dx = g'(t)*dtก.(อัลฟ่า) = กก.(เบต้า) = ข

อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx) = อินทิกรัล(alpha..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)

การบูรณาการตามส่วนต่างๆ

อินทิกรัล(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = อินทิกรัล(a..b, f(x)*g(x)*dx) - อินทิกรัล(a..b, f' (x)*ก(x)*dx)

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย

เมื่อf ( x ) ต่อเนื่องมีจุด นั้น c เป็นสมาชิกของ [a,b]

อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

การประมาณสี่เหลี่ยมคางหมูของอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัล(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

ฟังก์ชันแกมมา

gamma(x) = อินทิกรัล(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

ฟังก์ชันแกมมาลู่เข้าหากันสำหรับx > 0

คุณสมบัติของฟังก์ชันแกมมา

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

ฟังก์ชันเบต้า

B(x,y) = อินทิกรัล(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันเบต้าและฟังก์ชันแกมมา

B(x,y) = แกมมา(x)*แกมมา(y)/แกมมา(x+y)

 

Advertising

 

 

แคลคูลัส
°• CmtoInchesConvert.com •°