คอนโวลูชั่น

Convolution คือฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของ f(τ) กับฟังก์ชันกลับด้าน g(t-τ)

ตัวดำเนินการ convolution คือเครื่องหมายดอกจัน*

การบิดของ f(t) และ g(t) เท่ากับอินทิกรัลของ f(τ) คูณ f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Convolution ของ 2 ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องถูกกำหนดเป็น:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

โดยปกติจะใช้การบิดเบี้ยวแบบไม่ต่อเนื่อง 2 มิติสำหรับการประมวลผลภาพ

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

เราสามารถกรองสัญญาณอินพุตแบบแยก x(n) โดยการบิดด้วยการตอบสนองแบบอิมพัลส์ h(n) เพื่อให้ได้สัญญาณเอาต์พุต y(n)

y(n) = x(n) * h(n)

การแปลงฟูริเยร์ของการคูณของ 2 ฟังก์ชันจะเท่ากับการแปลงฟูริเยร์ของแต่ละฟังก์ชัน:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

การแปลงฟูริเยร์ของการบิดเกลียวของ 2 ฟังก์ชันเท่ากับการคูณของการแปลงฟูริเยร์ของแต่ละฟังก์ชัน:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

ดูสิ่งนี้ด้วย