กฎอนุพันธ์

กฎอนุพันธ์และกฎหมายตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นิยามอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนของผลต่างของค่าฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x+Δx และ x กับ Δx เมื่อ Δx มีค่าน้อยมากอนุพันธ์คือความชันของฟังก์ชันหรือความชันของเส้นสัมผัสที่จุด x

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

อนุพันธ์อันดับสอง

อนุพันธ์อันดับสองกำหนดโดย:

หรือหาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:

f''(x)=(f'(x))'

อนุพันธ์อันดับ N

อนุพันธ์ อันดับที่nคำนวณโดยการหาค่า f(x) n ครั้ง

อนุพันธ์ อันดับ nเท่ากับอนุพันธ์ของอนุพันธ์ (n-1):

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

ตัวอย่าง:

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสี่ของ

ฉ ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

อนุพันธ์บนกราฟของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือความชันของเส้นสัมผัส

กฎอนุพันธ์

กฎผลรวมอนุพันธ์

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
กฎผลิตภัณฑ์อนุพันธ์

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
กฎผลหารเชิงอนุพันธ์ \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
กฎลูกโซ่อนุพันธ์

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

กฎผลรวมอนุพันธ์

เมื่อaและbเป็นค่าคงที่

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

ตัวอย่าง:

ค้นหาอนุพันธ์ของ:

3 x 2 + 4 x

ตามกฎผลรวม:

ก = 3, ข = 4

ฉ ( x ) = x 2 , ก ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

กฎผลิตภัณฑ์อนุพันธ์

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

กฎผลหารเชิงอนุพันธ์

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

กฎลูกโซ่อนุพันธ์

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

กฎนี้สามารถเข้าใจได้ดีขึ้นด้วยสัญกรณ์ของลากรองจ์:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

การประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชัน

สำหรับ Δx ขนาดเล็ก เราสามารถหาค่าประมาณเป็น f(x 0 +Δx) เมื่อเราทราบ f(x 0 ) และ f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ชื่อฟังก์ชัน การทำงาน อนุพันธ์

f (x)

 ฉ '( x )
คงที่

const

0
เชิงเส้น

x

1
พลัง

x a

a x a-1
เลขชี้กำลัง

e x

e x
เลขชี้กำลัง

a x

a x ln a
ลอการิทึมธรรมชาติ

ln(x)

ลอการิทึม

logb(x)

ไซน์

sin x

cos x
โคไซน์

cos x

-sin x
แทนเจนต์

tan x

อาร์คไซน์

arcsin x

อาร์คโคไซน์

arccos x

อาร์คแทนเจนต์

arctan x
ไฮเปอร์โบลิกไซน์

sinh x

cosh x
โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก

cosh x

sinh x
ไฮเพอร์โบลิกแทนเจนต์

tanh x

ไฮเพอร์โบลิกไซน์ผกผัน

sinh-1 x

โคไซน์ไฮเปอร์โบลิกผกผัน

cosh-1 x

ไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์ผกผัน

tanh-1 x

ตัวอย่างอนุพันธ์

ตัวอย่าง #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

ตัวอย่าง #2

f (x) = sin(3x2)

เมื่อใช้กฎลูกโซ่:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

เมื่ออนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันเป็นศูนย์ที่จุดx 0

f '(x0) = 0

จากนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่จุด x 0 , f''(x 0 ) สามารถระบุประเภทของจุดนั้นได้:

 

f ''(x0) > 0

 ขั้นต่ำในท้องถิ่น

f ''(x0) < 0

 สูงสุดในท้องถิ่น

f ''(x0) = 0

 บึกบึน

 

ดูสิ่งนี้ด้วย

Advertising

แคลคูลัส
°• CmtoInchesConvert.com •°